哈尔滨工业大学 2022年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，证明：
（1）$\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$ 等价于 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 是直和；
（2）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V$ 等价于 $\displaystyle V_{1}=V$ 或 $\displaystyle V_{2}=V$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确直和的定义
直和的定义：$V_1 + V_2$ 是直和当且仅当 $V_1 + V_2$ 中每个向量的分解唯一，即若 $v_1 + v_2 = 0$，其中 $v_1 \in V_1, v_2 \in V_2$，则 $v_1 = v_2 = 0$。
提示：注意直和定义中的零向量分解唯一性，这是证明的关键。
步骤 2/8
目标：证明必要性：由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 推出直和
设 $v_1 + v_2 = 0$，$v_1 \in V_1, v_2 \in V_2$。则 $v_1 = -v_2 \in V_1 \cap V_2$。由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 得 $v_1 = 0$，从而 $v_2 = 0$。因此 $V_1 + V_2$ 是直和。
提示：注意 $-v_2 \in V_2$ 且 $v_1 = -v_2$ 推出 $v_1 \in V_2$，从而 $v_1 \in V_1 \cap V_2$。
步骤 3/8
目标：证明充分性：由直和推出 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $v \in V_1 \cap V_2$，则 $v = v + 0$ 且 $v = 0 + v$。由于直和分解唯一，得 $v = 0$。故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意 $v$ 有两种表示：$v = v + 0$（$v \in V_1, 0 \in V_2$）和 $v = 0 + v$（$0 \in V_1, v \in V_2$），由唯一性得 $v=0$。
步骤 4/8
目标：总结（1）的结论
由必要性和充分性，$V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 等价于 $V_1 + V_2$ 是直和。
步骤 5/8
目标：证明（2）的充分性
若 $V_1 = V$ 或 $V_2 = V$，则 $V_1 \cup V_2 = V$ 显然成立。
提示：注意并集包含每个子空间，若一个子空间已是全空间，并集即为全空间。
步骤 6/8
目标：证明（2）的必要性：反证法
假设 $V_1 \cup V_2 = V$，但 $V_1 \neq V$ 且 $V_2 \neq V$。则存在 $v_1 \in V \setminus V_1$，$v_2 \in V \setminus V_2$。考虑 $v = v_1 + v_2$。由于 $V_1 \cup V_2 = V$，$v$ 必属于 $V_1$ 或 $V_2$。
提示：注意 $v_1 \notin V_1$ 且 $v_2 \notin V_2$，但 $v$ 必须在并集中。
步骤 7/8
目标：分情况讨论导出矛盾
若 $v \in V_1$，则 $v_2 = v - v_1 \in V_1$，但 $v_2 \notin V_2$，矛盾。若 $v \in V_2$，则 $v_1 = v - v_2 \in V_2$，但 $v_1 \notin V_1$，矛盾。因此假设不成立，故 $V_1 = V$ 或 $V_2 = V$。
提示：注意子空间对加法和数乘封闭，$v - v_1$ 仍在同一子空间中。
步骤 8/8
目标：总结（2）的结论
由充分性和必要性，$V_1 \cup V_2 = V$ 等价于 $V_1 = V$ 或 $V_2 = V$。
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