哈尔滨工业大学 2022年高等代数第5题

当 $n=1$ 时，矩阵 $A$ 是一个非零数（因为一阶顺序主子式不为零），取 $B=1$，则 $BA=A$ 是上三角矩阵，结论成立。

假设对于任意 $n-1$ 阶矩阵，若其所有 $k$ 阶顺序主子式非零（$k=1,\dots,n-2$），则存在下三角矩阵 $B_{n-1}$ 使得 $B_{n-1}A_{n-1}$ 为上三角矩阵。

将 $n$ 阶矩阵 $A$ 分块为 \[ A = \begin{pmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \beta^T & a_{nn} \end{pmatrix}, \] 其中 $A_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶顺序主子矩阵，$\alpha$ 是 $n-1$ 维列向量，$\beta^T$ 是 $n-1$ 维行向量，$a_{nn}$ 是标量。由条件，$A_{n-1}$ 的所有 $k$ 阶顺序主子式非零（$k=1,\dots,n-2$）。

由归纳假设，存在下三角矩阵 $B_{n-1}$ 使得 $B_{n-1}A_{n-1}$ 为上三角矩阵。令 \[ B = \begin{pmatrix} B_{n-1} & 0 \\ -\beta^T A_{n-1}^{-1} B_{n-1}^{-1} & 1 \end{pmatrix}. \] 由于 $B_{n-1}$ 是下三角矩阵，且 $A_{n-1}$ 可逆（因为其顺序主子式非零），故 $B$ 是下三角矩阵。

计算乘积 $BA$： \[ BA = \begin{pmatrix} B_{n-1}A_{n-1} & B_{n-1}\alpha \\ -\beta^T A_{n-1}^{-1} B_{n-1}^{-1} B_{n-1}A_{n-1} + \beta^T & -\beta^T A_{n-1}^{-1} B_{n-1}^{-1} B_{n-1}\alpha + a_{nn} \end{pmatrix}. \] 化简左下角元素： \[ -\beta^T A_{n-1}^{-1} B_{n-1}^{-1} B_{n-1}A_{n-1} + \beta^T = -\beta^T A_{n-1}^{-1} A_{n-1} + \beta^T = -\beta^T + \beta^T = 0. \] 右下角元素： \[ -\beta^T A_{n-1}^{-1} B_{n-1}^{-1} B_{n-1}\alpha + a_{nn} = -\beta^T A_{n-1}^{-1} \alpha + a_{nn}. \] 因此 \[ BA = \begin{pmatrix} B_{n-1}A_{n-1} & B_{n-1}\alpha \\ 0 & a_{nn} - \beta^T A_{n-1}^{-1}\alpha \end{pmatrix}, \] 其中 $B_{n-1}A_{n-1}$ 是上三角矩阵，故 $BA$ 是上三角矩阵。归纳完成。

由（1）知存在下三角矩阵 $B$ 使得 $BA=U$ 为上三角矩阵。由于 $A$ 的各阶顺序主子式非零，故 $A$ 可逆，从而 $B$ 也可逆（因为 $U$ 可逆）。令 $L = B^{-1}$，则 $L$ 是下三角矩阵（下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵），且 $A = LU$。因此 $A$ 可分解为下三角矩阵 $L$ 与上三角矩阵 $U$ 的乘积。