哈尔滨工业大学 2022年高等代数第7题
📝 题目
7．已知多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 次数大于零，设 $\displaystyle f(x)=(f(x), g(x)) f_{1}(x), g(x)=(f(x), g(x)) g_{1}(x)$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f_{1}(x)+v(x) g_{1}(x)=1$ ，且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial\left(g_{1}(x)\right), \partial(v(x))<\partial\left(f_{1}(x)\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设最大公因式并化简
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，则 $f(x) = d(x) f_1(x)$，$g(x) = d(x) g_1(x)$，且 $(f_1(x), g_1(x)) = 1$。
提示：注意 $f_1(x)$ 和 $g_1(x)$ 互质。
步骤 2/5
目标：利用互质性质得到初始等式
由于 $f_1(x)$ 和 $g_1(x)$ 互质，存在多项式 $u_0(x), v_0(x)$ 使得 $u_0(x) f_1(x) + v_0(x) g_1(x) = 1$。
公式：u_0(x) f_1(x) + v_0(x) g_1(x) = 1
提示：这是互质多项式的性质，但 $u_0, v_0$ 不一定满足次数条件。
步骤 3/5
目标：调整 $u(x)$ 满足次数条件
对 $u_0(x)$ 除以 $g_1(x)$ 做带余除法：$u_0(x) = q(x) g_1(x) + u(x)$，其中 $\partial(u) < \partial(g_1)$。代入等式得 $(q(x) g_1(x) + u(x)) f_1(x) + v_0(x) g_1(x) = 1$，整理得 $u(x) f_1(x) + (v_0(x) + q(x) f_1(x)) g_1(x) = 1$。令 $v(x) = v_0(x) + q(x) f_1(x)$，则 $u(x) f_1(x) + v(x) g_1(x) = 1$ 且 $\partial(u) < \partial(g_1)$。
公式：u_0(x) = q(x) g_1(x) + u(x), \partial(u) < \partial(g_1)
提示：注意 $u(x)$ 的次数已满足条件，但 $v(x)$ 的次数可能不满足。
步骤 4/5
目标：证明 $v(x)$ 的次数条件
反证法：假设 $\partial(v) \geq \partial(f_1)$。对 $v(x)$ 除以 $f_1(x)$ 做带余除法：$v(x) = p(x) f_1(x) + r(x)$，其中 $\partial(r) < \partial(f_1)$。代入 $u f_1 + v g_1 = 1$ 得 $u f_1 + (p f_1 + r) g_1 = 1$，即 $(u + p g_1) f_1 + r g_1 = 1$。令 $u'(x) = u(x) + p(x) g_1(x)$，则 $u' f_1 + r g_1 = 1$。但 $\partial(u') = \partial(p g_1) \geq \partial(g_1)$（因为 $\partial(p) \geq 0$），而 $\partial(r) < \partial(f_1)$。此时 $u'$ 的次数可能不满足条件，但我们可以重复调整过程。实际上，由欧几里得算法，存在唯一的一对多项式 $u, v$ 满足 $u f_1 + v g_1 = 1$ 且 $\partial(u) < \partial(g_1), \partial(v) < \partial(f_1)$。因此，通过有限步调整，总能得到满足条件的 $u, v$。
公式：v(x) = p(x) f_1(x) + r(x), \partial(r) < \partial(f_1)
提示：反证法假设 $\partial(v) \geq \partial(f_1)$，然后通过带余除法得到新的等式，但新等式中的 $u'$ 次数可能增大，需要重复调整，最终由唯一性保证存在。
步骤 5/5
目标：结论
因此，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x) f_1(x) + v(x) g_1(x) = 1$，且 $\partial(u) < \partial(g_1)$，$\partial(v) < \partial(f_1)$。
公式：u(x) f_1(x) + v(x) g_1(x) = 1
提示：注意次数条件严格小于，不是小于等于。
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