哈尔滨工业大学 2022年高等代数第8题

设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 除以 $x-1$ 得商式 $g(x) = b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0$ 和余式 $r$，则有 $f(x) = (x-1)g(x) + r$。

计算 $(x-1)g(x) = x g(x) - g(x) = b_{n-1} x^n + (b_{n-2} - b_{n-1}) x^{n-1} + \cdots + (b_0 - b_1) x - b_0$，加上余数 $r$ 得 $f(x) = b_{n-1} x^n + (b_{n-2} - b_{n-1}) x^{n-1} + \cdots + (b_0 - b_1) x + (r - b_0)$。

比较 $f(x)$ 与展开式的系数得： \[ \begin{cases} a_n = b_{n-1}, \\ a_{n-1} = b_{n-2} - b_{n-1}, \\ \vdots \\ a_1 = b_0 - b_1, \\ a_0 = r - b_0. \end{cases} \]

由方程组递推得： \[ \begin{aligned} b_{n-1} &= a_n, \\ b_{n-2} &= a_{n-1} + b_{n-1} = a_{n-1} + a_n, \\ b_{n-3} &= a_{n-2} + b_{n-2} = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n, \\ &\vdots \\ b_0 &= a_1 + b_1 = a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \\ r &= a_0 + b_0 = a_0 + a_1 + \cdots + a_n. \end{aligned} \]

将系数关系写成矩阵乘法： \[ \begin{pmatrix} b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & b_0 & r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n & a_{n-1} & \cdots & a_0 \end{pmatrix} M, \] 其中 $M$ 是 $(n+1) \times (n+1)$ 矩阵。观察系数关系，$M$ 为下三角矩阵，第 $i$ 行（$i=0,\ldots,n-1$）对应 $b_{n-1-i}$，前 $i+1$ 列为1，其余为0；最后一行对应 $r$，全为1。即 \[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix}_{(n+1) \times (n+1)}. \]

令 $f(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1$，则所有系数 $a_i = 1$。代入公式得： \[ \begin{aligned} b_{n-1} &= 1, \\ b_{n-2} &= 1+1 = 2, \\ &\vdots \\ b_0 &= \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{个}} = n, \\ r &= \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n+1\text{个}} = n+1. \end{aligned} \] 因此商式 $g(x) = x^{n-1} + 2x^{n-2} + \cdots + n$，余式 $r = n+1$。