哈尔滨工业大学 2022年高等代数第9题
📝 题目
9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵．
（1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵；
（2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明存在可逆矩阵C使A和B同时对角化
由于$B$正定，存在可逆矩阵$P$使得$P^T B P = I$。令$A_1 = P^T A P$，则$A_1$是实对称矩阵。存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A_1 Q = \Lambda$为对角矩阵。令$C = P Q$，则$C$可逆，且$C^T B C = Q^T (P^T B P) Q = Q^T I Q = I$，$C^T A C = Q^T (P^T A P) Q = Q^T A_1 Q = \Lambda$，即$C^T A C$和$C^T B C$同时为对角矩阵。
公式：B正定 => 存在可逆P使P^T B P = I
提示：注意P和Q的顺序：先对B做合同变换化为单位阵，再对A1做正交对角化。
步骤 2/6
目标：对B进行Cholesky分解求P
对$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$进行Cholesky分解$B = L L^T$，解得$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$L^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。取$P = L^{-T} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：Cholesky分解：B = L L^T
提示：Cholesky分解要求矩阵正定，且L是下三角。
步骤 3/6
目标：计算A1 = P^T A P
先计算$A P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，再左乘$P^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$得$A_1 = P^T (A P) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：A1 = P^T A P
提示：矩阵乘法顺序：先右乘P再左乘P^T。
步骤 4/6
目标：将A1正交对角化
求$A_1$的特征值：$\det(A_1 - \lambda I) = \lambda^2(2-\lambda)=0$，得$\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=0$。对应特征向量：$\lambda=2$时，解$(A_1-2I)x=0$得$x_1=x_2, x_3$任意，取$v_1=(1,1,0)^T$，单位化得$q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$；$\lambda=0$时，解$A_1 x=0$得$x_1+x_2=0$，取$v_2=(1,-1,0)^T$，单位化得$q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，再取$v_3=(0,0,1)^T$，单位化得$q_3=(0,0,1)^T$。正交矩阵$Q = (q_1, q_2, q_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$Q^T A_1 Q = \Lambda = \operatorname{diag}(2,0,0)$。
公式：正交对角化：Q^T A_1 Q = Λ
提示：特征向量需正交归一化，注意零特征值的几何重数。
步骤 5/6
目标：计算C = P Q
计算$C = P Q = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：C = P Q
提示：矩阵乘法注意顺序，P左乘Q。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证$C^T B C = I$和$C^T A C = \operatorname{diag}(2,0,0)$。计算$C^T B C$：先计算$B C$，再左乘$C^T$，结果应为单位阵。类似验证$C^T A C$。
公式：C^T B C = I, C^T A C = Λ
提示：验证可确保计算正确，注意矩阵乘法精度。
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