哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $\displaystyle F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．
（1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目与定义
已知 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 互不相同，定义 $F(x) = \prod_{j=1}^n (x - a_j)$，以及 $L(x) = \sum_{i=1}^n \frac{b_i F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)}$。需要证明 $L(a_i) = b_i$ 且 $L(x)$ 是满足该插值条件的最低次数多项式。
公式：$F(x) = \prod_{j=1}^n (x - a_j)$，$L(x) = \sum_{i=1}^n \frac{b_i F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)}$
提示：注意 $F'(a_i)$ 是导数在 $a_i$ 处的值，且 $a_i$ 互不相同保证分母非零。
步骤 2/6
目标：计算 $F'(a_i)$
由于 $F(x) = \prod_{j=1}^n (x - a_j)$，求导得 $F'(x) = \sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} (x - a_j)$。代入 $x = a_i$，除 $k=i$ 项外，其余项均含因子 $(a_i - a_i)=0$，故 $F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j)$。
公式：$F'(a_i) = \prod_{j \neq i} (a_i - a_j)$
提示：注意 $F'(a_i)$ 是 $n-1$ 个因子的乘积，每个因子是 $a_i$ 与其他 $a_j$ 的差。
步骤 3/6
目标：证明 $L(a_i) = b_i$
将 $x = a_i$ 代入 $L(x)$ 表达式：$L(a_i) = \sum_{j=1}^n \frac{b_j F(a_i)}{(a_i - a_j) F'(a_j)}$。当 $j \neq i$ 时，$F(a_i)=0$，故这些项为 $0$。当 $j = i$ 时，需处理 $\frac{F(a_i)}{(a_i - a_i) F'(a_i)}$ 的不定型。考虑极限：$\lim_{x \to a_i} \frac{F(x)}{(x - a_i) F'(a_i)} = \frac{F'(a_i)}{F'(a_i)} = 1$（洛必达法则）。因此 $L(a_i) = b_i \cdot 1 = b_i$。
公式：$\lim_{x \to a_i} \frac{F(x)}{(x - a_i)} = F'(a_i)$
提示：注意 $j=i$ 时直接代入会得到 $0/0$，必须用极限或约去公因子 $x-a_i$ 后代入。
步骤 4/6
目标：确定 $L(x)$ 的次数
每个分式 $\frac{F(x)}{x - a_i}$ 是 $n-1$ 次多项式，因为 $F(x)$ 是 $n$ 次，除以 $x-a_i$ 后降一次。求和后 $L(x)$ 是 $n-1$ 次多项式（除非系数巧合导致次数降低，但一般情况为 $n-1$ 次）。
公式：$\deg\left(\frac{F(x)}{x-a_i}\right) = n-1$
提示：注意 $L(x)$ 的次数可能低于 $n-1$，但不会超过 $n-1$。
步骤 5/6
目标：证明 $L(x)$ 是次数最低的插值多项式
假设存在多项式 $P(x)$ 满足 $P(a_i)=b_i$ 且 $\deg P < n-1$。令 $Q(x) = L(x) - P(x)$，则 $Q(a_i)=0$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立，且 $\deg Q < n-1$。但 $Q(x)$ 有 $n$ 个不同的根，除非 $Q(x) \equiv 0$，否则次数至少为 $n$，矛盾。故 $P(x) \equiv L(x)$，即 $L(x)$ 是唯一次数不超过 $n-1$ 的插值多项式，因此次数最低。
公式：多项式根与次数的关系：非零多项式 $Q(x)$ 若有 $m$ 个不同根，则 $\deg Q \ge m$。
提示：注意 $L(x)$ 本身次数可能小于 $n-1$，但任何次数更小的多项式若满足插值条件则必为零多项式，因此 $L(x)$ 是次数最低的。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 (1) 和 (2) 知，$L(x)$ 是拉格朗日插值多项式，满足 $L(a_i)=b_i$，且是满足该条件的最低次数多项式（次数不超过 $n-1$）。
提示：拉格朗日插值公式的标准形式为 $L(x)=\sum_{i=1}^n b_i \prod_{j\neq i} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}$，与本题形式等价。
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