📝 哈尔滨工业大学 2023年高等代数真题
第0题
2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $\displaystyle F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．
（1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．
（1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．
第0题
3．（1）$f(x), g(x)$ 有公共根；（2）$\exists u(x), v(x)$ 使得 $f(x) u(x)=g(x) v(x)$ 。其中 $\partial(u(x))<\partial(g(x)), \partial(v(x))<\partial(f(x))$ ．
（3）$f(x), g(x)$ 有非常数的公因式．证明（1），（2），（3）等价．
（3）$f(x), g(x)$ 有非常数的公因式．证明（1），（2），（3）等价．
第0题
4．（1）$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ ．
证 $|A+x F|=|A|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．
（2）$\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_{12}-a_{11} & a_{13}-a_{12} & \cdots & a_{1 n}-a_{1, n-1} \\ 1 & a_{22}-a_{21} & a_{23}-a_{22} & \cdots & a_{2 n}-a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n 2}-a_{n 1} & a_{n 3}-a_{n 2} & \cdots & a_{n n}-a_{n, n-1}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．
证 $|A+x F|=|A|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．
（2）$\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_{12}-a_{11} & a_{13}-a_{12} & \cdots & a_{1 n}-a_{1, n-1} \\ 1 & a_{22}-a_{21} & a_{23}-a_{22} & \cdots & a_{2 n}-a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n 2}-a_{n 1} & a_{n 3}-a_{n 2} & \cdots & a_{n n}-a_{n, n-1}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．
第0题
5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？
第0题
6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价．
（1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．
（1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．
第0题
7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．
第0题
8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ．
（1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．
（1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．
第0题
9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价：
（1）$A$ 是正交矩阵；
（2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基；
（3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．
（1）$A$ 是正交矩阵；
（2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基；
（3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．
第0题
10．$A, B$ 为实对称矩阵，证明 $A B=B A$ 的充分必要条件为 $A, B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量．