哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件和目标
已知对称矩阵 $A_{n\times n}$ 是二次型 $f(x_1,\dots,x_n)=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$ 的矩阵。需要证明 $f$ 半正定当且仅当存在对称矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$。
公式：f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}
提示：注意 $A$ 是对称矩阵，半正定二次型对应的矩阵是半正定矩阵。
步骤 2/6
目标：必要性：由半正定推出存在对称矩阵B使A=B^2
假设 $f$ 半正定，则 $A$ 是半正定对称矩阵。根据实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i \geq 0$ 是 $A$ 的特征值。
公式：Q^T A Q = \Lambda, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n), \; \lambda_i \geq 0
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，对角化时注意顺序。
步骤 3/6
目标：构造矩阵B
定义 $\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})$，则 $\sqrt{\Lambda}$ 是对称半正定矩阵。令 $B = Q \sqrt{\Lambda} Q^T$，则 $B$ 是对称矩阵，因为 $B^T = (Q \sqrt{\Lambda} Q^T)^T = Q \sqrt{\Lambda}^T Q^T = Q \sqrt{\Lambda} Q^T = B$。
公式：B = Q \sqrt{\Lambda} Q^T
提示：注意 $\sqrt{\Lambda}$ 是对角矩阵，其转置等于自身。
步骤 4/6
目标：验证B满足A=B^2
计算 $B^2 = (Q \sqrt{\Lambda} Q^T)(Q \sqrt{\Lambda} Q^T) = Q \sqrt{\Lambda} (Q^T Q) \sqrt{\Lambda} Q^T = Q \sqrt{\Lambda} I \sqrt{\Lambda} Q^T = Q \Lambda Q^T = A$。因此存在对称矩阵 $B$ 使得 $A = B^2$。
公式：B^2 = Q \Lambda Q^T = A
提示：利用 $Q^T Q = I$ 简化乘积。
步骤 5/6
目标：充分性：由存在对称矩阵B使A=B^2推出半正定
假设存在对称矩阵 $B$ 使得 $A = B^2$。对任意 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，计算二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T B^2 \mathbf{x} = \mathbf{x}^T B B \mathbf{x} = (B\mathbf{x})^T (B\mathbf{x}) = \|B\mathbf{x}\|^2 \geq 0$。因此 $f$ 半正定。
公式：f(\mathbf{x}) = \|B\mathbf{x}\|^2 \geq 0
提示：注意 $B$ 对称保证 $B^T = B$，从而 $(B\mathbf{x})^T = \mathbf{x}^T B$。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性已证：若 $f$ 半正定，则存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^2$；充分性已证：若存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^2$，则 $f$ 半正定。因此充要条件成立。
提示：注意半正定二次型对应的矩阵是半正定矩阵，其平方根矩阵也是对称的。
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