哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价：
（1）$A$ 是正交矩阵；
（2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基；
（3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和等价关系
题目给出三个论述：
(1) $A$ 是正交矩阵；
(2) $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是规范正交基；
(3) 对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^n$，有 $(AX, AY) = (X, Y)$。
需要证明三者等价，即 (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)。
提示：注意规范正交基的定义：列向量两两正交且长度为1。
步骤 2/5
目标：证明 (1) ⇒ (2)：正交矩阵推出列向量是规范正交基
设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_i \in \mathbb{R}^n$ 为列向量。
若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^T A = I$。
计算 $A^T A$ 的 $(i,j)$ 元：$(A^T A)_{ij} = \alpha_i^T \alpha_j$。
由 $A^T A = I$ 得 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$（Kronecker符号），即 $\alpha_i$ 与 $\alpha_j$ 正交当 $i \neq j$，且 $\|\alpha_i\| = 1$。
因此 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是规范正交基。
公式：$A^T A = I$，$\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$
提示：注意 $A^T A$ 的 $(i,j)$ 元是第 $i$ 行与第 $j$ 列的内积，但这里 $A$ 的列是 $\alpha_i$，所以 $A^T A$ 的 $(i,j)$ 元是 $\alpha_i^T \alpha_j$。
步骤 3/5
目标：证明 (2) ⇒ (3)：规范正交基推出内积不变性
若 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是规范正交基，则 $A^T A = I$（因为 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$）。
对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^n$，有
\[
(AX, AY) = (AX)^T (AY) = X^T A^T A Y = X^T I Y = X^T Y = (X, Y).
\]
因此 (3) 成立。
公式：$(AX, AY) = X^T A^T A Y$
提示：注意内积的矩阵表示：$(u, v) = u^T v$。
步骤 4/5
目标：证明 (3) ⇒ (1)：内积不变性推出正交矩阵
若对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^n$ 有 $(AX, AY) = (X, Y)$，取 $X = e_i, Y = e_j$（标准基），则
\[
(Ae_i, Ae_j) = (\alpha_i, \alpha_j) = \delta_{ij}.
\]
因此 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$，即 $A^T A = I$。
所以 $A$ 是正交矩阵。
公式：$(Ae_i, Ae_j) = \delta_{ij}$
提示：注意 $Ae_i$ 就是 $A$ 的第 $i$ 列 $\alpha_i$。
步骤 5/5
目标：总结等价性
由以上三步，我们证明了 (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)，因此三个论述等价。
提示：注意循环证明的完整性。
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