哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题

设 $V = C(A) = \{ B \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid AB = BA \}$。 - **零元**：零矩阵 $O$ 满足 $AO = O = OA$，故 $O \in V$。 - **加法封闭**：对任意 $B_1, B_2 \in V$，有 $A(B_1+B_2) = AB_1 + AB_2 = B_1A + B_2A = (B_1+B_2)A$，所以 $B_1+B_2 \in V$。 - **数乘封闭**：对任意 $B \in V$ 和数 $k$，有 $A(kB) = k(AB) = k(BA) = (kB)A$，所以 $kB \in V$。 因此 $C(A)$ 是线性空间。

设 $B = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$： $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1+x_4 & x_2+x_5 & x_3+x_6 \\ 2x_7 & 2x_8 & 2x_9 \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 & x_2 & 2x_3 \\ x_4+x_5 & x_5 & 2x_6 \\ x_7+x_8 & x_8 & 2x_9 \end{pmatrix}$$

令 $AB = BA$，对应元素相等，得到方程组： 1. $x_1 = x_1 + x_2 \Rightarrow x_2 = 0$ 2. $x_2 = x_2$（恒等） 3. $x_3 = 2x_3 \Rightarrow x_3 = 0$ 4. $x_1+x_4 = x_4+x_5 \Rightarrow x_1 = x_5$ 5. $x_2+x_5 = x_5 \Rightarrow x_2 = 0$（已得） 6. $x_3+x_6 = 2x_6 \Rightarrow x_3 = x_6 \Rightarrow x_6 = 0$（因 $x_3=0$） 7. $2x_7 = x_7+x_8 \Rightarrow x_7 = x_8$ 8. $2x_8 = x_8 \Rightarrow x_8 = 0$（结合上一条得 $x_7=0$） 9. $2x_9 = 2x_9$（恒等）

整理得：$x_2=0, x_3=0, x_6=0, x_7=0, x_8=0$，且 $x_1 = x_5$，$x_4$ 和 $x_9$ 自由。所以 $B$ 的形式为： $$B = \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ x_4 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_9 \end{pmatrix}$$ 其中 $x_1, x_4, x_9$ 为自由参数。

自由参数有3个，故 $C(A)$ 的维数为3。一组基可取： $$E_{11}+E_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{33} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 验证：这些矩阵线性无关且与A可交换。