哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价．
（1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件(1)的含义
条件(1) $r(A)=n$ 表示矩阵 $A$ 的秩等于其列数 $n$。由于 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，秩不超过行数和列数，因此 $m \geq n$。
提示：注意秩的定义：矩阵的秩是行向量组的秩，也是列向量组的秩。
步骤 2/5
目标：证明 (1) ⇒ (2)
因为 $r(A)=n$，对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形。由于秩为 $n$，行最简形为 $\begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。初等行变换对应左乘初等矩阵，这些初等矩阵的乘积记为 $P$，则 $P$ 可逆，且 $PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：$PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：初等行变换不改变矩阵的秩；行最简形中 $E_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
步骤 3/5
目标：证明 (2) ⇒ (3)
由(2)存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 使得 $PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。将 $P$ 分块为 $P = \begin{pmatrix} P_1 \\ P_2 \end{pmatrix}$，其中 $P_1$ 是 $n \times m$ 矩阵，$P_2$ 是 $(m-n) \times m$ 矩阵。则 $PA = \begin{pmatrix} P_1 A \\ P_2 A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$，所以 $P_1 A = E_n$。取 $B = P_1$，则 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵且 $BA = E_n$。
公式：$P_1 A = E_n$
提示：分块矩阵的乘法要正确；$P_1$ 是 $P$ 的前 $n$ 行。
步骤 4/5
目标：证明 (3) ⇒ (1)
由(3)存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ 使得 $BA = E_n$。因为 $E_n$ 的秩为 $n$，而 $r(BA) \leq r(A)$，所以 $n = r(E_n) = r(BA) \leq r(A) \leq n$（因为 $A$ 有 $n$ 列，秩不超过列数），故 $r(A)=n$。
公式：$r(BA) \leq r(A)$
提示：矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩；$A$ 的列数为 $n$，所以 $r(A) \leq n$。
步骤 5/5
目标：总结等价性
已证明 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)，因此三个条件等价。
提示：循环证明是证明等价的常用方法。
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