哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．（1）$f(x), g(x)$ 有公共根；（2）$\exists u(x), v(x)$ 使得 $f(x) u(x)=g(x) v(x)$ 。其中 $\partial(u(x))<\partial(g(x)), \partial(v(x))<\partial(f(x))$ ．
（3）$f(x), g(x)$ 有非常数的公因式．证明（1），（2），（3）等价．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 (1) ⇒ (2)
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有公共根 $\alpha$，则存在多项式 $f_1(x), g_1(x)$ 使得 $f(x) = (x-\alpha) f_1(x)$，$g(x) = (x-\alpha) g_1(x)$。取 $u(x) = g_1(x)$，$v(x) = f_1(x)$，则 $f(x) u(x) = (x-\alpha) f_1(x) g_1(x) = g(x) v(x)$。由于 $\partial(g(x)) = \partial(g_1(x)) + 1$，故 $\partial(u(x)) = \partial(g_1(x)) < \partial(g(x))$；同理 $\partial(v(x)) < \partial(f(x))$。因此 (2) 成立。
公式：f(x) = (x-\alpha) f_1(x), g(x) = (x-\alpha) g_1(x)
提示：注意次数关系：$\partial(u) = \partial(g_1) = \partial(g)-1$，严格小于 $\partial(g)$。
步骤 2/6
目标：证明 (2) ⇒ (3) 第一步：设最大公因式
设 $d(x) = \gcd(f(x), g(x))$，则存在互素的多项式 $f_1(x), g_1(x)$ 使得 $f(x) = d(x) f_1(x)$，$g(x) = d(x) g_1(x)$，且 $\gcd(f_1, g_1) = 1$。代入条件 $f(x) u(x) = g(x) v(x)$ 得 $d(x) f_1(x) u(x) = d(x) g_1(x) v(x)$，消去 $d(x)$ 得 $f_1(x) u(x) = g_1(x) v(x)$。
公式：f_1(x) u(x) = g_1(x) v(x)
提示：注意 $d(x)$ 可能为常数，此时 $f_1 = f, g_1 = g$。
步骤 3/6
目标：证明 (2) ⇒ (3) 第二步：利用互素性质推导
由于 $\gcd(f_1, g_1) = 1$，由 $f_1 u = g_1 v$ 知 $f_1 \mid g_1 v$，而 $f_1$ 与 $g_1$ 互素，故 $f_1 \mid v$。同理 $g_1 \mid u$。因此存在多项式 $h(x)$ 使得 $v(x) = f_1(x) h(x)$，$u(x) = g_1(x) h(x)$。代入次数条件：$\partial(v) < \partial(f) = \partial(d) + \partial(f_1)$，而 $\partial(v) = \partial(f_1) + \partial(h)$，故 $\partial(f_1) + \partial(h) < \partial(d) + \partial(f_1)$，即 $\partial(h) < \partial(d)$。同理 $\partial(h) < \partial(d)$。
公式：v = f_1 h, u = g_1 h
提示：注意 $h$ 的次数小于 $\partial(d)$，但 $h$ 可能为零多项式？实际上 $h$ 非零，否则 $u=v=0$ 但次数条件不满足（零多项式次数未定义）。
步骤 4/6
目标：证明 (2) ⇒ (3) 第三步：反证法得出公因式非常数
假设 $d(x)$ 是常数，则 $\partial(d)=0$，于是 $\partial(h) < 0$，矛盾（次数非负）。因此 $d(x)$ 不能是常数，即 $\partial(d) \geq 1$，故 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有非常数公因式 $d(x)$。
提示：注意次数非负性，$\partial(h) < 0$ 不可能，从而 $d$ 必须非常数。
步骤 5/6
目标：证明 (3) ⇒ (1)
设 $d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的非常数公因式，则 $d(x)$ 在复数域上至少有一个根 $\alpha$（代数基本定理）。于是 $d(\alpha)=0$，从而 $f(\alpha)=0$ 且 $g(\alpha)=0$，即 $\alpha$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共根。
提示：注意：在实数域中非常数多项式不一定有实根，但题目未指定系数域，通常考虑复数域或代数闭包。
步骤 6/6
目标：总结等价性
由 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) 的循环证明，可知三个命题等价。
提示：注意循环证明的完整性。
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