哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
10．$A, B$ 为实对称矩阵，证明 $A B=B A$ 的充分必要条件为 $A, B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：必要性：利用实对称矩阵可正交对角化
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ 为实对角矩阵。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 2/7
目标：必要性：利用交换性推导 $C$ 与 $\Lambda$ 可交换
由 $AB=BA$ 得 $\Lambda (Q^T B Q) = (Q^T B Q) \Lambda$。记 $C = Q^T B Q$，则 $C$ 也是实对称矩阵，且 $\Lambda C = C \Lambda$。
公式：\Lambda C = C \Lambda
提示：注意 $C$ 的对称性由 $B$ 的对称性保证。
步骤 3/7
目标：必要性：分析 $\Lambda C = C \Lambda$ 的分块结构
比较 $\Lambda C$ 和 $C \Lambda$ 的 $(i,j)$ 元素：$(\Lambda C)_{ij} = \lambda_i c_{ij}$，$(C \Lambda)_{ij} = c_{ij} \lambda_j$，得 $(\lambda_i - \lambda_j) c_{ij} = 0$。因此，若 $\lambda_i \neq \lambda_j$，则 $c_{ij}=0$。于是 $C$ 是分块对角矩阵，每个块对应 $\Lambda$ 中相同特征值的子块。
公式：(\lambda_i - \lambda_j) c_{ij} = 0
提示：注意 $\lambda_i$ 可能相等，此时 $c_{ij}$ 不一定为零。
步骤 4/7
目标：必要性：对每个特征值子空间正交对角化 $C$
对每个特征值子空间，$C$ 限制在其上是实对称矩阵，可正交对角化。因此存在正交矩阵 $R$（与 $Q$ 相容的分块正交矩阵）使得 $R^T C R$ 为对角矩阵，且 $R^T \Lambda R = \Lambda$（因为 $\Lambda$ 在相同特征值子空间内是标量矩阵）。
提示：注意 $R$ 是分块正交矩阵，每个块是相应子空间的正交对角化矩阵。
步骤 5/7
目标：必要性：构造同时正交对角化 $A$ 和 $B$ 的正交矩阵
令 $P = QR$，则 $P$ 是正交矩阵，且 $P^T A P = \Lambda$，$P^T B P = D$ 为对角矩阵。因此 $A$ 与 $B$ 可同时正交对角化，从而它们有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量（即 $P$ 的列向量）。
公式：P^T A P = \Lambda, \quad P^T B P = D
提示：注意 $P$ 的列向量是 $A$ 和 $B$ 的公共特征向量。
步骤 6/7
目标：充分性：利用公共特征向量同时对角化
若 $A$ 与 $B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P = \Lambda$，$P^{-1} B P = M$，其中 $\Lambda$ 和 $M$ 均为对角矩阵（因为 $A,B$ 可对角化，且公共特征向量可构成基）。
公式：P^{-1} A P = \Lambda, \quad P^{-1} B P = M
提示：注意 $P$ 不一定正交，但可逆即可。
步骤 7/7
目标：充分性：由对角矩阵乘法交换性推出 $AB=BA$
于是 $P^{-1} AB P = \Lambda M = M \Lambda = P^{-1} BA P$，从而 $AB = BA$。
公式：\Lambda M = M \Lambda
提示：对角矩阵乘法可交换。
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