哈尔滨工业大学 2023年高等代数第0题

线性方程组为 \[ \begin{cases} \lambda x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_1 + 2\lambda x_2 + 3x_3 = \lambda \\ x_1 + 2x_2 + 3\lambda x_3 = \lambda \end{cases} \] 系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$ 分别为 \[ A = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2\lambda & 3 \\ 1 & 2 & 3\lambda \end{pmatrix},\quad \bar{A} = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2\lambda & 3 & \lambda \\ 1 & 2 & 3\lambda & \lambda \end{pmatrix} \]

计算 $\det A$： \[ \det A = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 1 & 2\lambda & 3 \\ 1 & 2 & 3\lambda \end{vmatrix} \] 按第一行展开： \[ \det A = \lambda \begin{vmatrix} 2\lambda & 3 \\ 2 & 3\lambda \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] 计算各子式： \[ \begin{vmatrix} 2\lambda & 3 \\ 2 & 3\lambda \end{vmatrix} = 6\lambda^2 - 6 = 6(\lambda^2-1) \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\lambda \end{vmatrix} = 3\lambda - 3 = 3(\lambda-1) \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2\lambda = 2(1-\lambda) \] 代入得： \[ \det A = \lambda \cdot 6(\lambda^2-1) - 2 \cdot 3(\lambda-1) + 3 \cdot 2(1-\lambda) = 6\lambda(\lambda^2-1) - 6(\lambda-1) + 6(1-\lambda) \] 合并后两项：$6(1-\lambda) = -6(\lambda-1)$，所以 \[ \det A = 6\lambda(\lambda^2-1) - 12(\lambda-1) = 6(\lambda-1)[\lambda(\lambda+1) - 2] = 6(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) = 6(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda+2) = 6(\lambda-1)^2(\lambda+2) \]

当 $\det A \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，系数矩阵满秩，方程组有唯一解。可用克莱姆法则求解，但题目未要求具体表达式，故略。

当 $\lambda = 1$ 时，系数矩阵和增广矩阵变为 \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\quad \bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \] 秩均为1，方程组有无穷多解。此时方程为 $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1$，解为 $x_1 = 1 - 2x_2 - 3x_3$，其中 $x_2, x_3$ 为自由变量。

当 $\lambda = -2$ 时，系数矩阵和增广矩阵为 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & 2 & -6 \end{pmatrix},\quad \bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -6 & -2 \end{pmatrix} \] 对 $A$ 进行行变换： \[ \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & 2 & -6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + 2R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 0 & -6 & 9 \\ 0 & 6 & -9 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 0 & -6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 秩为2。对增广矩阵做同样行变换： \[ \bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -6 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ -2 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -6 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + 2R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & -6 & 9 & -3 \\ 0 & 6 & -9 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & -6 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \] 最后一行对应 $0 = -3$，矛盾，所以无解。

综上所述： - 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，方程组有唯一解。 - 当 $\lambda = 1$ 时，方程组有无穷多解：$x_1 = 1 - 2x_2 - 3x_3$，$x_2, x_3$ 任意。 - 当 $\lambda = -2$ 时，方程组无解。