哈尔滨工业大学 2024年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。
（1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的结论
设 $\lambda$ 是 $\mathcal{B}$ 的特征值，$V_\lambda = \{v \in V \mid \mathcal{B}v = \lambda v\}$ 是 $\mathcal{B}$ 的特征子空间，$\ker \mathcal{B} = \{v \in V \mid \mathcal{B}v = 0\}$ 是 $\mathcal{B}$ 的核空间。要证 $V_\lambda + \ker \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，即对任意 $v \in V_\lambda + \ker \mathcal{B}$，有 $\mathcal{A}v \in V_\lambda + \ker \mathcal{B}$。
提示：注意特征子空间和核空间的定义，以及不变子空间的定义。
步骤 2/5
目标：将向量分解并分别作用
任取 $v = v_1 + v_2$，其中 $v_1 \in V_\lambda$，$v_2 \in \ker \mathcal{B}$。由于 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$，有 $\mathcal{B}\mathcal{A}v_1 = \mathcal{A}\mathcal{B}v_1 = \mathcal{A}(\lambda v_1) = \lambda \mathcal{A}v_1$，故 $\mathcal{A}v_1 \in V_\lambda$。又 $\mathcal{B}\mathcal{A}v_2 = \mathcal{A}\mathcal{B}v_2 = \mathcal{A}0 = 0$，故 $\mathcal{A}v_2 \in \ker \mathcal{B}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：注意 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 可交换的条件在推导中的使用。
步骤 3/5
目标：得出不变子空间结论
因此 $\mathcal{A}v = \mathcal{A}v_1 + \mathcal{A}v_2 \in V_\lambda + \ker \mathcal{B}$。所以 $V_\lambda + \ker \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。
提示：注意和空间的定义：$V_\lambda + \ker \mathcal{B} = \{v_1+v_2 \mid v_1 \in V_\lambda, v_2 \in \ker \mathcal{B}\}$。
步骤 4/5
目标：利用复线性空间性质找特征向量
由于 $V$ 是复线性空间，$\mathcal{B}$ 有特征值 $\lambda$ 和对应的特征向量。考虑 $\mathcal{B}$ 的特征子空间 $V_\lambda$。由（1）知 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，故 $\mathcal{A}$ 限制在 $V_\lambda$ 上有特征向量 $v$，即 $\mathcal{A}v = \mu v$，$v \in V_\lambda$，$v \neq 0$。则 $\mathcal{B}v = \lambda v$。
公式：复线性空间上线性变换必有特征值
提示：注意 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，因此 $\mathcal{A}$ 在 $V_\lambda$ 上的限制是 $V_\lambda$ 上的线性变换，从而有特征向量。
步骤 5/5
目标：证明共同特征向量
于是 $f(\mathcal{A})v = f(\mu)v$，$f(\mathcal{B})v = f(\lambda)v$，所以 $v$ 是 $f(\mathcal{A})$ 和 $f(\mathcal{B})$ 的共同特征向量。
公式：$f(\mathcal{A})v = f(\mu)v$，$f(\mathcal{B})v = f(\lambda)v$
提示：注意 $f(\mathcal{A})$ 作用在特征向量 $v$ 上时，$\mathcal{A}v = \mu v$，因此 $f(\mathcal{A})v = f(\mu)v$，类似地 $f(\mathcal{B})v = f(\lambda)v$。
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