📝 哈尔滨工业大学 2024年高等代数真题

1．解答如下问题：
（1）证明：每个次数 $\displaystyle \geq 3$ 的实系数多项式在实数域上一定可约．
（2）证明：三次实系数多项式在实数域上一定有根。
（3）四次实系数多项式在实数域上一定有根吗？说明理由．

2．讨论 $\displaystyle a, b$ 取何值时下列方程组有解，并求解．

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}+a x_{5}=-3 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=b
\end{array} .\right.
$$

3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明：
（1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关；
（2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量；
（3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成

$$
Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) .
$$

其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．

4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集；
（2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．

5．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 是线性无关的 $n$ 维列向量，$\displaystyle \beta_{i}=\sum_{j=1}^{r} a_{i j} \alpha_{j}, i=1,2, \cdots, r$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$线性相关的充要条件为 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}\end{array}\right|=0$ 。

6．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $A$ 的几何重数为 $m$ 的特征值，证明：$\displaystyle \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{m} \| \lambda E_{n}-A \mid$ ．

7．设 $\displaystyle P^{n}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中的两组向量．
（1）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间的充要条件；
（2）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)=P^{n}$ 的充要条件．

8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型．
（1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？
（2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.

9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。
（1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．

10．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子和 Jordan 标准形．