哈尔滨工业大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型．
（1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？
（2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断S是否为子空间
首先，$S = \{X \in \mathbb{R}^4 \mid f(X)=0\}$，其中$f(X)=X^T A X$是二次型。要判断$S$是否为子空间，需验证是否包含零向量、对加法和数乘封闭。零向量显然满足$f(0)=0$，故$0 \in S$。但加法封闭性不一定成立。例如，考虑二维情形：取$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，则$f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2$。取$X=(1,1)^T$，$Y=(1,-1)^T$，则$f(X)=0$，$f(Y)=0$，但$X+Y=(2,0)^T$，$f(X+Y)=4 \neq 0$。因此$S$对加法不封闭，故一般不是子空间。但若$A$为零矩阵，则$S=\mathbb{R}^4$是子空间。所以$S$不一定是子空间。
公式：f(X)=X^T A X
提示：注意反例构造：选取正负惯性指数均非零的矩阵，如$A$为对角矩阵$\mathrm{diag}(1,-1)$。
步骤 2/5
目标：分析二次型的标准形
由于$A$是实对称矩阵，且正负惯性指数均为1，故存在可逆线性变换$X=PY$，其中$P$可逆，使得$f(X)=Y^T (P^T A P) Y = y_1^2 - y_2^2 + 0 \cdot y_3^2 + 0 \cdot y_4^2$。即二次型化为标准形$y_1^2 - y_2^2$。
公式：f(X)=y_1^2 - y_2^2
提示：注意惯性指数为1意味着正平方项和负平方项各一个，其余为零。
步骤 3/5
目标：构造满足f=0的子空间W'
考虑$\mathbb{R}^4$中的子空间$W' = \{ Y \in \mathbb{R}^4 \mid y_1 = y_2 \}$。这是一个线性子空间，由方程$y_1 - y_2 = 0$定义，自由变量为$y_2, y_3, y_4$，维数为3。对于任意$Y \in W'$，有$y_1 = y_2$，代入标准形得$f(X)=y_1^2 - y_2^2 = 0$。
公式：y_1 = y_2
提示：注意$W'$是3维子空间，因为一个线性方程约束减少一维。
步骤 4/5
目标：通过可逆变换得到W
令$W = P W' = \{ P Y \mid Y \in W' \}$。由于$P$可逆，$W$是$\mathbb{R}^4$的3维子空间（可逆线性映射保持维数）。对任意$X \in W$，存在$Y \in W'$使得$X=PY$，则$f(X)=Y^T (P^T A P) Y = y_1^2 - y_2^2 = 0$。因此$W$即为所求的3维子空间。
公式：W = P W'
提示：注意可逆变换不改变子空间的维数，但需验证$W$确实是子空间。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，存在$\mathbb{R}^4$的3维子空间$W$，使得当$X \in W$时，$f(X)=0$。证明完成。
提示：注意题目要求证明存在性，构造即可。
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