哈尔滨工业大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle P^{n}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中的两组向量．
（1）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间的充要条件；
（2）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)=P^{n}$ 的充要条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题并引入符号
设 $U = L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$，$V = L(\beta_1,\ldots,\beta_t)$。问题（1）要求 $U \cup V$ 是 $P^n$ 的子空间的充要条件；（2）要求 $U \cup V = P^n$ 的充要条件。
提示：注意 $U \cup V$ 一般不是子空间，需要特殊条件。
步骤 2/7
目标：证明（1）的必要性
假设 $U \cup V$ 是子空间。用反证法：若 $U \not\subseteq V$ 且 $V \not\subseteq U$，则存在 $u \in U \setminus V$，$v \in V \setminus U$。由于 $U \cup V$ 是子空间，$u+v \in U \cup V$。若 $u+v \in U$，则 $v = (u+v)-u \in U$，矛盾；若 $u+v \in V$，则 $u = (u+v)-v \in V$，矛盾。故必有 $U \subseteq V$ 或 $V \subseteq U$。
提示：注意反证法的使用，以及子空间对加法的封闭性。
步骤 3/7
目标：证明（1）的充分性
若 $U \subseteq V$，则 $U \cup V = V$，而 $V$ 是子空间；若 $V \subseteq U$，则 $U \cup V = U$，也是子空间。因此 $U \cup V$ 是子空间。
提示：注意包含关系下并集等于较大的子空间。
步骤 4/7
目标：总结（1）的充要条件
所以 $U \cup V$ 是子空间的充要条件是 $U \subseteq V$ 或 $V \subseteq U$。
提示：这是线性代数中关于子空间并的经典结论。
步骤 5/7
目标：证明（2）的必要性
假设 $U \cup V = P^n$。由于 $P^n$ 是子空间，由（1）知 $U \subseteq V$ 或 $V \subseteq U$。若 $U \subseteq V$，则 $U \cup V = V = P^n$；若 $V \subseteq U$，则 $U \cup V = U = P^n$。因此 $U = P^n$ 或 $V = P^n$。
提示：注意利用（1）的结论。
步骤 6/7
目标：证明（2）的充分性
若 $U = P^n$，则 $U \cup V = P^n \cup V = P^n$；若 $V = P^n$，则 $U \cup V = U \cup P^n = P^n$。因此 $U \cup V = P^n$。
提示：注意 $P^n$ 是全集。
步骤 7/7
目标：总结（2）的充要条件
所以 $U \cup V = P^n$ 的充要条件是 $U = P^n$ 或 $V = P^n$。
提示：这意味着两个子空间的并等于全空间时，其中一个子空间已经是全空间。
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