哈尔滨工业大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．讨论 $\displaystyle a, b$ 取何值时下列方程组有解，并求解．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}+a x_{5}=-3 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=b
\end{array} .\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & a & -3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & b
\end{pmatrix}
$$
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错顺序。
步骤 2/7
目标：初等行变换消去第一列
做行变换：$R_2 - 3R_1$, $R_4 - 5R_1$，得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-3 & -6 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & b-5
\end{pmatrix}
$$
提示：注意 $R_2-3R_1$ 时，常数项也要相应减去。
步骤 3/7
目标：消去第二列
做行变换：$R_3 + R_2$, $R_4 - R_2$，得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-3 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a+3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -a-3 & b+1
\end{pmatrix}
$$
提示：注意 $R_4 - R_2$ 时，$R_4$ 的第二列是 -1，减去 $R_2$ 的 -1 得 0。
步骤 4/7
目标：进一步化简
做行变换：$R_4 + R_3$，得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-3 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a+3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b-2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意 $R_4 + R_3$ 后，第四行最后一列变为 $b+1 + (-3) = b-2$。
步骤 5/7
目标：讨论解的存在性
方程组有解当且仅当 $b-2=0$，即 $b=2$。此时增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。
当 $b=2$ 时，继续讨论 $a$：
1. 若 $a+3 \neq 0$，即 $a \neq -3$，则矩阵化为
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & a-3 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a+3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
秩为3，未知数5个，自由变量个数为2。
2. 若 $a+3=0$，即 $a=-3$，则矩阵化为
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第三行对应方程 $0 = -3$，矛盾，故无解。
提示：注意 $b=2$ 是必要条件，但 $a=-3$ 时无解。
步骤 6/7
目标：求解当 $a \neq -3$ 时的解
取 $x_3, x_4$ 为自由变量。由第三行得 $(a+3)x_5 = -3$，故 $x_5 = -\frac{3}{a+3}$。
第二行：$-x_2 -2x_3 -2x_4 + (a-3)x_5 = -6$，代入 $x_5$ 得
$$x_2 = 6 - 2x_3 - 2x_4 + (a-3)\left(-\frac{3}{a+3}\right) = 6 - 2x_3 - 2x_4 - \frac{3(a-3)}{a+3}.$$
第一行：$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1$，代入得
$$x_1 = 1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 = 1 - \left(6 - 2x_3 - 2x_4 - \frac{3(a-3)}{a+3}\right) - x_3 - x_4 - \left(-\frac{3}{a+3}\right)$$
$$= -5 + x_3 + x_4 + \frac{3(a-3)}{a+3} + \frac{3}{a+3} = -5 + x_3 + x_4 + \frac{3a-6}{a+3}.$$
所以解为：
$$
\begin{cases}
x_1 = -5 + x_3 + x_4 + \frac{3a-6}{a+3} \\
x_2 = 6 - 2x_3 - 2x_4 - \frac{3(a-3)}{a+3} \\
x_3 = x_3 \\
x_4 = x_4 \\
x_5 = -\frac{3}{a+3}
\end{cases}
$$
其中 $x_3, x_4$ 为自由变量。
提示：注意代入时符号不要出错，特别是 $x_5$ 的负号。
步骤 7/7
目标：总结解的情况
综上所述：
- 当 $b \neq 2$ 时，方程组无解。
- 当 $b=2$ 且 $a=-3$ 时，方程组无解。
- 当 $b=2$ 且 $a \neq -3$ 时，方程组有解，解如上所示。
提示：注意 $b=2$ 且 $a=-3$ 时无解，不要遗漏。
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