哈尔滨工业大学 2024年高等代数第1题

题目要求证明次数≥3的实系数多项式在实数域上一定可约。回顾代数基本定理：任何复系数多项式在复数域上至少有一个根。由于实系数是复系数的特例，因此实系数多项式在复数域上也有根。

设 $f(x)$ 是实系数多项式，次数 $\deg f \geq 3$。由代数基本定理，$f(x)$ 在复数域上至少有一个根 $\alpha$。分两种情况： 1. $\alpha$ 是实数。 2. $\alpha$ 是虚数（非实数）。

若 $\alpha$ 是实数，则 $f(x)$ 可被一次因式 $(x-\alpha)$ 整除，即 $f(x) = (x-\alpha)g(x)$，其中 $g(x)$ 是实系数多项式，次数为 $\deg f - 1 \geq 2$。因此 $f(x)$ 在实数域上可约。

若 $\alpha$ 是虚数，则其共轭 $\overline{\alpha}$ 也是 $f(x)$ 的根，且 $\alpha \neq \overline{\alpha}$。考虑二次多项式 $h(x) = (x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = x^2 - (\alpha+\overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha}$。由于 $\alpha+\overline{\alpha}$ 和 $\alpha\overline{\alpha}$ 都是实数，$h(x)$ 是实系数二次多项式。$f(x)$ 可被 $h(x)$ 整除，即 $f(x) = h(x)k(x)$，其中 $k(x)$ 是实系数多项式，次数为 $\deg f - 2 \geq 1$。因此 $f(x)$ 可约。

综合两种情况，任何次数 $\geq 3$ 的实系数多项式在实数域上都能分解为一次因式或二次因式的乘积，因此一定可约。

设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，$a\neq0$，$a,b,c,d\in\mathbb{R}$。考虑极限： - 若 $a>0$，则 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$。 - 若 $a<0$，则 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$。 由介值定理，存在实数 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$。

四次实系数多项式不一定有实根。反例：$f(x)=x^4+1$。对任意实数 $x$，$x^4\geq0$，故 $f(x)\geq1>0$，无实根。但由第一部分结论，$f(x)$ 在实数域上可约，例如 $x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$，这两个二次因式均无实根（判别式 $\Delta=2-4=-2<0$）。因此四次多项式可能无实根。