哈尔滨工业大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明：
（1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关；
（2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量；
（3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成
$$
Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) .
$$
其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明η, ξ1,..., ξt线性无关
设存在一组数 $k_0, k_1, \dots, k_t$ 使得 $k_0 \eta + k_1 \xi_1 + \cdots + k_t \xi_t = 0$。左乘矩阵 $A$，得 $k_0 A\eta + k_1 A\xi_1 + \cdots + k_t A\xi_t = 0$。由于 $A\eta = \beta \neq 0$，$A\xi_i = 0$，故 $k_0 \beta = 0$，从而 $k_0 = 0$。代入原式得 $k_1 \xi_1 + \cdots + k_t \xi_t = 0$。因为 $\xi_1, \dots, \xi_t$ 线性无关，所以 $k_1 = \cdots = k_t = 0$。因此 $\eta, \xi_1, \dots, \xi_t$ 线性无关。
公式：$A\eta = \beta$, $A\xi_i = 0$
提示：注意左乘A后，利用非齐次解和齐次解的性质消去k0，再使用基础解系的线性无关性。
步骤 2/4
目标：验证η, ξ1+η, ..., ξt+η都是AX=β的解
首先，$A\eta = \beta$，所以 $\eta$ 是解。其次，对每个 $i=1,\dots,t$，$A(\xi_i+\eta) = A\xi_i + A\eta = 0 + \beta = \beta$，所以 $\xi_i+\eta$ 也是解。
公式：$A(\xi_i+\eta) = A\xi_i + A\eta$
提示：注意验证解时，直接代入方程即可。
步骤 3/4
目标：证明η, ξ1+η, ..., ξt+η线性无关
设存在数 $l_0, l_1, \dots, l_t$ 使得 $l_0 \eta + l_1 (\xi_1+\eta) + \cdots + l_t (\xi_t+\eta) = 0$。整理得 $(l_0 + l_1 + \cdots + l_t)\eta + l_1 \xi_1 + \cdots + l_t \xi_t = 0$。由（1）知 $\eta, \xi_1, \dots, \xi_t$ 线性无关，故 $l_0 + l_1 + \cdots + l_t = 0$ 且 $l_1 = \cdots = l_t = 0$。代入第一式得 $l_0 = 0$。因此 $\eta, \xi_1+\eta, \dots, \xi_t+\eta$ 线性无关。
公式：线性无关的定义
提示：注意整理后系数对应，利用（1）的结论。
步骤 4/4
目标：证明任意解Y可表示为给定形式
设 $Y$ 是 $AX=\beta$ 的任一解，则 $Y-\eta$ 是齐次解，故存在常数 $c_1, \dots, c_t$ 使得 $Y-\eta = c_1 \xi_1 + \cdots + c_t \xi_t$。于是 $Y = \eta + c_1 \xi_1 + \cdots + c_t \xi_t$。令 $k_0 = 1 - (c_1 + \cdots + c_t)$，$k_i = c_i$（$i=1,\dots,t$），则 $Y = k_0 \eta + k_1 (\xi_1+\eta) + \cdots + k_t (\xi_t+\eta)$，且 $k_0 + k_1 + \cdots + k_t = 1$。
公式：$Y-\eta$ 是齐次解
提示：注意将Y表示为η和齐次解的线性组合，再通过系数变换得到所需形式。
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