哈尔滨工业大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集；
（2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证向量属于子空间V
对于 $\alpha_1=(-2,0,0,-1,-1)^T$，代入方程 $x_1+7x_2+5x_3-4x_4+2x_5=0$ 得：$-2+0+0-4(-1)+2(-1)=-2+4-2=0$。类似地，$\alpha_2=(1,1,-2,-1,-1)^T$ 得 $1+7-10+4-2=0$；$\alpha_3=(-5,1,0,1,1)^T$ 得 $-5+7+0-4+2=0$。因此 $S\subseteq V$。
公式：$x_1+7x_2+5x_3-4x_4+2x_5=0$
提示：代入时注意符号，特别是负号的处理。
步骤 2/5
目标：证明向量组S线性无关
设 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，得到方程组：
$$\begin{cases}
-2k_1 + k_2 -5k_3 = 0 \\
0k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\
0k_1 -2k_2 + 0k_3 = 0 \\
-k_1 - k_2 + k_3 = 0 \\
-k_1 - k_2 + k_3 = 0
\end{cases}$$
由第三式得 $k_2=0$，代入第二式得 $k_3=0$，再由第一式得 $k_1=0$。故只有零解，$S$ 线性无关。
提示：注意方程组中第4、5式相同，只需使用其中一个。
步骤 3/5
目标：确定子空间V的维数
$V$ 是 $\mathbb{R}^5$ 中一个超平面，由单个线性方程定义，故 $\dim V = 5-1 = 4$。
公式：$\dim V = n - \text{rank}(A)$，其中 $A$ 为系数矩阵。
提示：线性方程组的解空间维数等于自由变量个数。
步骤 4/5
目标：求V的一组基
解方程 $x_1+7x_2+5x_3-4x_4+2x_5=0$，取自由变量 $x_2,x_3,x_4,x_5$ 为标准基，得四个解向量：
$$\beta_1=(-7,1,0,0,0)^T,\ \beta_2=(-5,0,1,0,0)^T,\ \beta_3=(4,0,0,1,0)^T,\ \beta_4=(-2,0,0,0,1)^T.$$
它们构成 $V$ 的一组基。
提示：自由变量赋值时，每次只令一个为1，其余为0。
步骤 5/5
目标：将S扩充为V的基
由于 $\dim V=4$，$S$ 有3个线性无关向量，只需添加一个与 $S$ 线性无关的向量。取 $\gamma=\beta_1=(-7,1,0,0,0)^T$。验证 $S\cup\{\gamma\}$ 线性无关：设 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\gamma=0$，写出方程组并解得 $k_1=k_2=k_3=k_4=0$（计算略）。因此 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\gamma\}$ 是 $V$ 的一组基。
提示：添加的向量不能由S线性表示，通常取基础解系中的向量。
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