哈尔滨工业大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 是线性无关的 $n$ 维列向量，$\displaystyle \beta_{i}=\sum_{j=1}^{r} a_{i j} \alpha_{j}, i=1,2, \cdots, r$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$线性相关的充要条件为 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}\end{array}\right|=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立向量组之间的矩阵关系
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，$\beta_i = \sum_{j=1}^r a_{ij} \alpha_j$，$i=1,2,\dots,r$。将 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r$ 用矩阵形式表示：
$$(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r) A,$$
其中 $A = (a_{ij})_{r \times r}$ 为系数矩阵。
公式：(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r) A
提示：注意矩阵乘法的顺序：$\alpha$ 作为行向量组，$A$ 在右侧。
步骤 2/6
目标：利用基的性质转化线性相关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，它们构成 $n$ 维空间中的一个 $r$ 维子空间的一组基。因此，向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r$ 线性相关当且仅当矩阵 $A$ 的列向量线性相关（因为 $\alpha$ 是基，坐标变换保持线性关系）。
提示：基的线性无关性保证了坐标表示的唯一性，从而线性关系可以传递。
步骤 3/6
目标：将列向量线性相关转化为行列式为零
矩阵 $A$ 的列向量线性相关当且仅当 $\det(A) = 0$。这是因为 $A$ 是方阵，其列向量线性相关等价于 $A$ 不可逆，即行列式为零。
公式：\det(A) = 0 \iff A \text{的列向量线性相关}
提示：注意：这里 $A$ 是 $r \times r$ 方阵，行列式才有定义。
步骤 4/6
目标：证明充分性：行列式为零推出线性相关
若 $\det(A) = 0$，则存在非零向量 $x = (x_1, x_2, \dots, x_r)^T$ 使得 $A x = 0$。于是
$$\sum_{i=1}^r x_i \beta_i = (\alpha_1, \dots, \alpha_r) A x = 0,$$
且 $x \neq 0$，故 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 线性相关。
公式：\sum_{i=1}^r x_i \beta_i = (\alpha_1, \dots, \alpha_r) A x
提示：注意 $x$ 是非零向量，否则不能说明线性相关。
步骤 5/6
目标：证明必要性：线性相关推出行列式为零
反之，若 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 线性相关，则存在非零向量 $x$ 使得 $\sum_{i=1}^r x_i \beta_i = 0$，即 $(\alpha_1, \dots, \alpha_r) A x = 0$。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 线性无关，必有 $A x = 0$，从而 $\det(A) = 0$。
提示：这里用到线性无关向量组的性质：若 $\sum c_i \alpha_i = 0$ 则所有 $c_i=0$。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
因此，$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r$ 线性相关的充要条件是 $\det(A) = 0$，即
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} = 0.$$
公式：\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} = 0
提示：注意行列式是 $r$ 阶的，与 $n$ 无关。
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