哈尔滨工业大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $A$ 的几何重数为 $m$ 的特征值，证明：$\displaystyle \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{m} \| \lambda E_{n}-A \mid$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解几何重数的定义
几何重数 $m$ 是指特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间 $\ker(A-\lambda_0 I)$ 的维数，即 $\dim\ker(A-\lambda_0 I)=m$。这意味着存在 $m$ 个线性无关的特征向量。
公式：$\dim\ker(A-\lambda_0 I)=m$
提示：注意几何重数不同于代数重数，几何重数不超过代数重数。
步骤 2/6
目标：选取基并构造矩阵表示
取 $\ker(A-\lambda_0 I)$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$，然后扩充为 $\mathbb{C}^n$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_{m+1},\dots,\beta_n$。在这组基下，$A$ 的矩阵表示为分块矩阵：$A = \begin{pmatrix} \lambda_0 I_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $C$ 是 $n-m$ 阶方阵。
提示：注意分块矩阵的右下角 $C$ 是 $n-m$ 阶方阵，左上角是 $\lambda_0 I_m$，左下角为零矩阵。
步骤 3/6
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} (\lambda-\lambda_0)I_m & -B \\ 0 & \lambda I_{n-m}-C \end{pmatrix}$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} (\lambda-\lambda_0)I_m & -B \\ 0 & \lambda I_{n-m}-C \end{pmatrix}$
提示：注意 $\lambda I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，分块时对应维度。
步骤 4/6
目标：计算分块矩阵的行列式
由于矩阵是分块上三角矩阵，行列式等于对角块行列式的乘积：$\det\begin{pmatrix} (\lambda-\lambda_0)I_m & -B \\ 0 & \lambda I_{n-m}-C \end{pmatrix} = \det((\lambda-\lambda_0)I_m) \cdot \det(\lambda I_{n-m}-C)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix} = \det(X)\det(Z)$
提示：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，前提是 $X$ 和 $Z$ 是方阵。
步骤 5/6
目标：化简行列式
$\det((\lambda-\lambda_0)I_m) = (\lambda-\lambda_0)^m$，因此特征多项式为 $(\lambda-\lambda_0)^m \det(\lambda I_{n-m}-C)$。
公式：$\det((\lambda-\lambda_0)I_m) = (\lambda-\lambda_0)^m$
提示：注意 $I_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵，行列式为 $1$，所以 $\det((\lambda-\lambda_0)I_m) = (\lambda-\lambda_0)^m$。
步骤 6/6
目标：得出结论
特征多项式 $|\lambda E_n - A| = (\lambda-\lambda_0)^m \det(\lambda I_{n-m}-C)$，因此 $(\lambda-\lambda_0)^m$ 整除 $|\lambda E_n - A|$，即 $(\lambda-\lambda_0)^m \mid |\lambda E_n - A|$。
公式：$|\lambda E_n - A| = (\lambda-\lambda_0)^m \det(\lambda I_{n-m}-C)$
提示：整除关系成立，但注意 $m$ 是几何重数，不一定等于代数重数，所以整除的幂次是几何重数。
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