哈尔滨工业大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $F$ 上次数大于等于 1 的多项式，证明下列说法等价
（1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式．
（2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ．
（3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明(1)⇒(2)：利用不可约多项式性质
设 $p(x)$ 不可约，且 $p(x) \mid f(x)g(x)$。若 $p(x) \nmid f(x)$，则由于 $p(x)$ 不可约，$(p(x), f(x)) = 1$。于是存在 $u(x), v(x) \in F[x]$ 使得 $u(x)p(x) + v(x)f(x) = 1$。两边乘以 $g(x)$ 得 $u(x)p(x)g(x) + v(x)f(x)g(x) = g(x)$。因为 $p(x) \mid f(x)g(x)$，所以 $p(x)$ 整除左边每一项，从而 $p(x) \mid g(x)$。
公式：Bezout等式：$u(x)p(x) + v(x)f(x) = 1$
提示：注意不可约多项式与互素的关系：若 $p(x)$ 不可约且不整除 $f(x)$，则 $(p(x), f(x))=1$。
步骤 2/3
目标：证明(2)⇒(3)：反证法，利用最大公因式
对任意 $f(x) \in F[x]$，考虑 $p(x)$ 与 $f(x)$ 的最大公因式 $d(x) = (p(x), f(x))$。若 $p(x) \nmid f(x)$，则 $\deg d(x) < \deg p(x)$。假设 $d(x)$ 不是常数，则 $d(x)$ 是 $p(x)$ 的真因子。由 (2) 知，若 $p(x) \mid d(x) \cdot (f(x)/d(x))$，则 $p(x) \mid d(x)$ 或 $p(x) \mid f(x)/d(x)$。但 $\deg d(x) < \deg p(x)$，故 $p(x) \nmid d(x)$；又 $p(x) \nmid f(x)$，故 $p(x) \nmid f(x)/d(x)$，矛盾。因此 $d(x)$ 必须是常数，即 $(p(x), f(x)) = 1$。
公式：最大公因式定义：$d(x) = (p(x), f(x))$
提示：注意 $p(x) \mid f(x)g(x)$ 中 $g(x)$ 是 $f(x)/d(x)$，且 $d(x)$ 是 $p(x)$ 的因子。
步骤 3/3
目标：证明(3)⇒(1)：反证法，假设可约导出矛盾
假设 $p(x)$ 可约，则存在 $f(x), g(x) \in F[x]$ 且 $\deg f, \deg g < \deg p$，使得 $p(x) = f(x)g(x)$。由 (3)，对 $f(x)$，要么 $p(x) \mid f(x)$，要么 $(p(x), f(x)) = 1$。但 $\deg f < \deg p$，故 $p(x) \nmid f(x)$；又 $p(x) = f(x)g(x)$，所以 $f(x)$ 是 $p(x)$ 的一个非平凡因子，故 $(p(x), f(x)) = f(x)$ 不是常数，矛盾。因此 $p(x)$ 不可约。
公式：可约定义：$p(x) = f(x)g(x)$，$\deg f, \deg g < \deg p$
提示：注意 $p(x) \mid f(x)$ 要求 $\deg f \geq \deg p$，否则不可能整除。
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