哈尔滨工业大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察矩阵结构
行列式 $D_n$ 的矩阵元素为 $a_i a_j + \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker 符号（当 $i=j$ 时为1，否则为0）。因此矩阵可写为 $A = \mathbf{a} \mathbf{a}^T + I$，其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T$，$I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：A = \mathbf{a} \mathbf{a}^T + I
提示：注意 $\delta_{ij}$ 的定义：当 $i=j$ 时 $\delta_{ij}=1$，否则为0。
步骤 2/4
目标：应用矩阵行列式引理
矩阵行列式引理：对于列向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$，有 $\det(I + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) = 1 + \mathbf{v}^T \mathbf{u}$。这里 $\mathbf{u} = \mathbf{a}$，$\mathbf{v} = \mathbf{a}$，所以 $D_n = \det(I + \mathbf{a} \mathbf{a}^T) = 1 + \mathbf{a}^T \mathbf{a}$。
公式：\det(I + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) = 1 + \mathbf{v}^T \mathbf{u}
提示：确保 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是列向量，且 $\mathbf{u} \mathbf{v}^T$ 是秩1矩阵。
步骤 3/4
目标：计算内积
计算 $\mathbf{a}^T \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i^2$。因此 $D_n = 1 + \sum_{i=1}^n a_i^2$。
公式：\mathbf{a}^T \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i^2
提示：内积是标量，注意求和符号。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
所以行列式的值为 $1 + \sum_{i=1}^n a_i^2$。
提示：结果与 $n$ 无关，只依赖于 $a_i$ 的平方和。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。