哈尔滨工业大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$\displaystyle r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $B$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle r(B)=r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A=B C$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：构造B和C
设 $r(A)=r$。取 $A$ 的列向量组的极大线性无关组，构成 $m \times r$ 矩阵 $B$，则 $B$ 的列向量线性无关，故 $r(B)=r$。由于 $A$ 的每一列都可以由 $B$ 的列线性表示，存在 $r \times n$ 矩阵 $C$ 使得 $A=BC$。
提示：注意极大线性无关组的选取不唯一，但秩相同。
步骤 2/5
目标：必要性：证明r(C)=r
由 $r(A)=r$ 及 $r(BC)\leq r(C)$ 得 $r\leq r(C)$。又 $C$ 是 $r\times n$ 矩阵，故 $r(C)\leq r$，从而 $r(C)=r$。
公式：$r(BC)\leq \min\{r(B), r(C)\}$
提示：注意不等式方向：$r(BC)\leq r(C)$ 总是成立。
步骤 3/5
目标：充分性：利用秩不等式
设存在 $m\times r$ 矩阵 $B$ 和 $r\times n$ 矩阵 $C$ 满足 $r(B)=r(C)=r$ 且 $A=BC$。则 $r(A)=r(BC)\leq \min\{r(B), r(C)\}=r$。
公式：$r(BC)\leq \min\{r(B), r(C)\}$
提示：注意 $\min$ 的用法。
步骤 4/5
目标：充分性：应用Sylvester不等式
由Sylvester不等式：$r(BC)\geq r(B)+r(C)-r = r+r-r = r$，故 $r(A)\geq r$。因此 $r(A)=r$。
公式：Sylvester不等式：$r(BC)\geq r(B)+r(C)-r$
提示：Sylvester不等式要求矩阵乘法有意义，这里B是m×r，C是r×n，满足条件。
步骤 5/5
目标：总结
综上，$r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $m\times r$ 矩阵 $B$ 和 $r\times n$ 矩阵 $C$ 满足 $r(B)=r(C)=r$，且 $A=BC$。
提示：注意必要性和充分性都要证明。
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