哈尔滨工业大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．设实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 满足 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$ ，求
$$
y=x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1}-2\left(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}\right)
$$
的取值范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二次型表示为矩阵形式
设向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$，则 $y = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。根据 $y$ 的表达式，$y = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_4 + x_4 x_1 - 2(x_1 x_3 + x_2 x_4)$，交叉项系数的一半填入矩阵对应位置，得到
$$A = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -1 \\
-1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix}.$$
公式：二次型 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 的矩阵 $A$ 满足 $A_{ij} = \frac{1}{2} \times$ ( $x_i x_j$ 的系数 ) 当 $i \neq j$，$A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数。
提示：注意对称矩阵的构造：非对角元是交叉项系数的一半，对角元是平方项系数。
步骤 2/5
目标：将问题转化为特征值问题
由于约束条件 $\|\mathbf{x}\|^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$，$y$ 的取值范围是 $A$ 的最小特征值和最大特征值之间的闭区间。因此，只需求出 $A$ 的所有特征值。
公式：对于实对称矩阵 $A$，$\min_{\|\mathbf{x}\|=1} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda_{\min}$，$\max_{\|\mathbf{x}\|=1} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda_{\max}$。
提示：确保矩阵是对称的，否则特征值可能不是实数。
步骤 3/5
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = 0$，即
$$\det\begin{pmatrix}
\lambda & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \lambda & -\frac{1}{2} & 1 \\
1 & -\frac{1}{2} & \lambda & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & \lambda
\end{pmatrix} = 0.$$
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)$。
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 的对角元是 $\lambda - A_{ii}$，非对角元是 $-A_{ij}$。
步骤 4/5
目标：利用循环矩阵性质求特征值
矩阵 $A$ 是循环矩阵，其第一行为 $(0, \frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2})$。循环矩阵的特征值公式为 $\lambda_k = \sum_{j=0}^{3} a_j \omega^{jk}$，其中 $\omega = e^{2\pi i/4} = i$，$a_0=0, a_1=\frac{1}{2}, a_2=-1, a_3=\frac{1}{2}$。分别计算 $k=0,1,2,3$：
- $k=0$: $\lambda_0 = 0 + \frac{1}{2} + (-1) + \frac{1}{2} = 0$
- $k=1$: $\lambda_1 = 0 + \frac{1}{2}i + (-1)i^2 + \frac{1}{2}i^3 = \frac{1}{2}i + 1 - \frac{1}{2}i = 1$
- $k=2$: $\lambda_2 = 0 + \frac{1}{2}(-1) + (-1)(1) + \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} -1 -\frac{1}{2} = -2$
- $k=3$: $\lambda_3 = 0 + \frac{1}{2}(-i) + (-1)(-1) + \frac{1}{2}i = -\frac{1}{2}i + 1 + \frac{1}{2}i = 1$
公式：循环矩阵特征值公式 $\lambda_k = \sum_{j=0}^{n-1} a_j \omega^{jk}$，$\omega = e^{2\pi i/n}$。
提示：注意 $i^2 = -1$，$i^3 = -i$。计算时仔细处理复数运算。
步骤 5/5
目标：确定特征值并得出取值范围
特征值为 $0, 1, -2, 1$，即最小特征值为 $-2$，最大特征值为 $1$。因此 $y$ 的取值范围是 $[-2, 1]$。
提示：注意特征值可能重复，但最小和最大特征值唯一。
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