哈尔滨工业大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．设实数序列 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=12, x_{2}=-10, x_{3}, x_{4}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 满足
$$
x_{n+3}+30 x_{n}=31 x_{n+1}, n \geq 0
$$
求 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别递推关系类型
给定递推关系：$x_{n+3}+30x_n=31x_{n+1}$，$n\geq 0$，初始值$x_0=1, x_1=12, x_2=-10$。这是一个三阶线性齐次递推关系，因为每一项都是前几项的线性组合且无常数项。
提示：注意递推关系是齐次的，且系数为常数。
步骤 2/6
目标：写出特征方程并求解
对于三阶线性齐次递推关系，特征方程为：$r^3 - 31r + 30 = 0$。因式分解：$(r-1)(r-5)(r+6)=0$，得到特征根：$r_1=1, r_2=5, r_3=-6$。
公式：$r^3 - 31r + 30 = 0$
提示：特征方程由递推关系直接得到：将$x_{n+k}$替换为$r^k$。注意符号：$x_{n+3}$对应$r^3$，$x_{n+1}$对应$r$，$x_n$对应常数项。
步骤 3/6
目标：写出通解形式
由于特征根互异，通解为：$x_n = A \cdot 1^n + B \cdot 5^n + C \cdot (-6)^n = A + B \cdot 5^n + C \cdot (-6)^n$，其中$A, B, C$为待定常数。
公式：$x_n = A + B \cdot 5^n + C \cdot (-6)^n$
提示：注意$1^n=1$，不要遗漏常数项。
步骤 4/6
目标：利用初始条件建立方程组
代入$n=0,1,2$：
$n=0$：$x_0 = A + B + C = 1$
$n=1$：$x_1 = A + 5B - 6C = 12$
$n=2$：$x_2 = A + 25B + 36C = -10$
提示：注意$(-6)^2=36$，符号不要错。
步骤 5/6
目标：解方程组求常数
由第一个方程得$A = 1 - B - C$，代入后两个方程：
$1 - B - C + 5B - 6C = 12 \Rightarrow 1 + 4B - 7C = 12 \Rightarrow 4B - 7C = 11$
$1 - B - C + 25B + 36C = -10 \Rightarrow 1 + 24B + 35C = -10 \Rightarrow 24B + 35C = -11$
解此二元一次方程组：由$4B - 7C = 11$得$B = \frac{11+7C}{4}$，代入$24B+35C=-11$得$24\cdot\frac{11+7C}{4}+35C=-11$，即$6(11+7C)+35C=-11$，$66+42C+35C=-11$，$77C=-77$，$C=-1$。则$B=\frac{11+7(-1)}{4}=1$，$A=1-1-(-1)=1$。
提示：解方程组时注意符号和计算准确性，可代入验证。
步骤 6/6
目标：写出通项公式
将$A=1, B=1, C=-1$代入通解，得：$x_n = 1 + 5^n - (-6)^n$。
公式：$x_n = 1 + 5^n - (-6)^n$
提示：最终结果可代入$n=0,1,2$验证：$x_0=1+1-1=1$，$x_1=1+5+6=12$，$x_2=1+25-36=-10$，正确。
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