哈尔滨工业大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}-5 & 5 \\ -6 & 6\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A B+B A=A B A$ 的所有复矩阵 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算矩阵A的特征值和特征向量
计算特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda+5 & -5 \\ 6 & \lambda-6 \end{pmatrix} = (\lambda+5)(\lambda-6)+30 = \lambda^2-\lambda = \lambda(\lambda-1)$，得特征值 $\lambda_1=0$，$\lambda_2=1$。
求特征向量：
- 对于 $\lambda=0$，解 $(A-0I)\mathbf{v}=0$，即 $\begin{pmatrix} -5 & 5 \\ -6 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0$，得 $-5x+5y=0$，取 $\mathbf{v}_1=(1,1)^T$。
- 对于 $\lambda=1$，解 $(A-I)\mathbf{v}=0$，即 $\begin{pmatrix} -6 & 5 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0$，得 $-6x+5y=0$，取 $\mathbf{v}_2=(5,6)^T$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：注意特征向量的选取不唯一，但需线性无关。
步骤 2/7
目标：构造可逆矩阵P并对角化A
令 $P=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \Lambda$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：确保P的列是特征向量，且顺序与特征值对应。
步骤 3/7
目标：变换原方程
设 $C = P^{-1}BP = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$。原方程 $AB+BA=ABA$ 两边左乘 $P^{-1}$、右乘 $P$ 得：
$P^{-1}ABP + P^{-1}BAP = P^{-1}ABAP$，即 $(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) + (P^{-1}BP)(P^{-1}AP) = (P^{-1}AP)(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$，
即 $\Lambda C + C\Lambda = \Lambda C \Lambda$。
公式：$\Lambda C + C\Lambda = \Lambda C \Lambda$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘P^{-1}右乘P相当于相似变换。
步骤 4/7
目标：代入Λ并计算矩阵方程
代入 $\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，计算：
$\Lambda C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$，
$C\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & c_{12} \\ 0 & c_{22} \end{pmatrix}$，
$\Lambda C \Lambda = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & c_{22} \end{pmatrix}$。
方程变为：$\begin{pmatrix} 0 & c_{12} \\ c_{21} & 2c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & c_{22} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵加法是对应元素相加。
步骤 5/7
目标：解出C的元素
比较元素得：$c_{12}=0$，$c_{21}=0$，$2c_{22}=c_{22}$ 即 $c_{22}=0$。$c_{11}$ 任意。所以 $C = \begin{pmatrix} c_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $c_{11}\in\mathbb{C}$。
提示：注意 $c_{22}$ 满足 $2c_{22}=c_{22}$ 推出 $c_{22}=0$。
步骤 6/7
目标：计算P的逆矩阵
计算 $P^{-1}$：$\det P = 1\cdot6 - 5\cdot1 = 1$，$P^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：逆矩阵公式 $P^{-1} = \frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：注意二阶矩阵逆的公式。
步骤 7/7
目标：求出B的表达式
由 $B = P C P^{-1}$ 得：
$B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6c_{11} & -5c_{11} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6c_{11} & -5c_{11} \\ 6c_{11} & -5c_{11} \end{pmatrix}$。
令 $k = 6c_{11}$，则 $B = \begin{pmatrix} k & -\frac{5}{6}k \\ k & -\frac{5}{6}k \end{pmatrix}$，其中 $k\in\mathbb{C}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意最后结果中 $k$ 为任意复数，且第二列与第一列成比例。
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