哈尔滨工业大学 2025年高等代数第9题

特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^3 - 6\lambda^2 + 32$。令 $f(\lambda)=0$，尝试有理根 $\lambda=4$，代入得 $64-96+32=0$，故 $\lambda=4$ 是一个根。用多项式除法：$(\lambda^3-6\lambda^2+32) \div (\lambda-4) = \lambda^2-2\lambda-8$。再分解 $\lambda^2-2\lambda-8 = (\lambda-4)(\lambda+2)$，所以特征值为 $\lambda_1=4$（二重根），$\lambda_2=-2$（单根）。

特征值 $\lambda=4$ 的代数重数为2，几何重数 $g = \dim\ker(A-4I)$ 满足 $1 \le g \le 2$。几何重数等于 $3 - \operatorname{rank}(A-4I)$，但未给出具体矩阵，需从特征多项式推断最小多项式。

最小多项式 $m(\lambda)$ 整除特征多项式，且包含所有不同特征值因子。可能形式为 $(\lambda-4)(\lambda+2)$ 或 $(\lambda-4)^2(\lambda+2)$。若 $m(\lambda)=(\lambda-4)(\lambda+2)$，则 $A$ 可对角化，Jordan标准形为对角矩阵；若 $m(\lambda)=(\lambda-4)^2(\lambda+2)$，则 $\lambda=4$ 对应一个2阶Jordan块。

计算特征多项式的一阶导数：$f'(\lambda)=3\lambda^2-12\lambda$，在 $\lambda=4$ 处 $f'(4)=48-48=0$，说明 $\lambda=4$ 是重根，但无法直接确定最小多项式。通常，若特征多项式有重根且未给出矩阵，默认不可对角化，即最小多项式含平方因子。因此取 $m(\lambda)=(\lambda-4)^2(\lambda+2)$。

由于 $\lambda=4$ 的代数重数为2，且最小多项式含 $(\lambda-4)^2$，故几何重数为1，对应一个2阶Jordan块。$\lambda=-2$ 为单根，对应一个1阶Jordan块。因此Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。

综上，$A$ 的Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。