哈尔滨工业大学 2025年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $a$ 为实数，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & a \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
若存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角的实矩阵，求 $a$ 的取值范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题条件
题目要求存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为上三角实矩阵。这意味着 $A$ 可正交相似于上三角矩阵。对于实矩阵，可正交相似于上三角矩阵的充要条件是 $A$ 的特征值均为实数。因为正交相似变换保持特征值，且上三角矩阵的特征值即对角线元素，为实数。因此，问题转化为求 $a$ 使得 $A$ 的特征值全为实数。
提示：注意正交相似变换保持特征值，且上三角矩阵的特征值就是对角线元素。
步骤 2/5
目标：计算特征多项式
计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda & -a \\ -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1) - a = \lambda^2 - \lambda - a.$$
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)$
提示：注意行列式的计算：主对角线乘积减去副对角线乘积。
步骤 3/5
目标：求解特征值
特征多项式为 $\lambda^2 - \lambda - a = 0$，解得特征值为：
$$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}.$$
公式：一元二次方程求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
提示：注意判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1 + 4a$。
步骤 4/5
目标：特征值为实数的条件
特征值为实数的充要条件是判别式 $\Delta = 1+4a \geq 0$，即 $a \geq -\frac{1}{4}$。
公式：$\Delta \geq 0$
提示：当 $\Delta < 0$ 时特征值为共轭复数，不满足实数条件。
步骤 5/5
目标：得出取值范围
因此，$a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{1}{4}, +\infty\right)$，即 $a \geq -\frac{1}{4}$。
提示：注意包括端点 $a = -\frac{1}{4}$，此时特征值为重根 $\frac{1}{2}$。
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