哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．求 7 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{4}$ 整除，$\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{4}$ 整除．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意并建立多项式方程
由题意，存在多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$ 使得：
$$f(x)+1 = (x-1)^4 g(x), \quad f(x)-1 = (x+1)^4 h(x).$$
由于 $f(x)$ 是7次多项式，$(x-1)^4$ 和 $(x+1)^4$ 是4次，因此 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都是3次多项式。
提示：注意多项式的次数关系：7次多项式除以4次多项式得到3次多项式。
步骤 2/7
目标：消去f(x)得到关于g(x)和h(x)的方程
将两式相减得：
$$2 = (x-1)^4 g(x) - (x+1)^4 h(x).$$
令 $p(x)=g(x)$, $q(x)=-h(x)$，则：
$$(x-1)^4 p(x) + (x+1)^4 q(x) = 2.$$
提示：注意符号变化，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：利用导数条件转化为方程组
由 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^4$ 整除，知 $x=1$ 是 $f(x)+1$ 的四重根，故：
$$f(1)+1=0,\; f'(1)=0,\; f''(1)=0,\; f'''(1)=0.$$
同理，由 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^4$ 整除，得：
$$f(-1)-1=0,\; f'(-1)=0,\; f''(-1)=0,\; f'''(-1)=0.$$
提示：注意 $f(x)-1$ 在 $x=-1$ 处为零，而不是 $f(-1)+1=0$。
步骤 4/7
目标：设出f(x)的一般形式
设 $f(x) = a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$，其中 $a_7 \neq 0$。
提示：7次多项式有8个系数，但注意最高次项系数不为0。
步骤 5/7
目标：代入导数条件得到线性方程组
计算 $f(1), f'(1), f''(1), f'''(1)$ 和 $f(-1), f'(-1), f''(-1), f'''(-1)$，并代入条件。例如：
$$f(1)+1 = \sum_{i=0}^7 a_i + 1 = 0,$$
$$f'(1) = \sum_{i=1}^7 i a_i = 0,$$
等等。共8个方程，可解出8个系数。
提示：计算高阶导数时注意系数，如 $f''(1) = \sum_{i=2}^7 i(i-1) a_i$。
步骤 6/7
目标：求解线性方程组
解方程组得到系数：
$$a_7 = \frac{35}{16},\; a_6 = 0,\; a_5 = -\frac{105}{16},\; a_4 = 0,\; a_3 = \frac{189}{16},\; a_2 = 0,\; a_1 = -\frac{135}{16},\; a_0 = 0.$$
因此：
$$f(x) = \frac{35}{16}x^7 - \frac{105}{16}x^5 + \frac{189}{16}x^3 - \frac{135}{16}x.$$
提示：注意偶次项系数均为0，这是由对称性决定的。
步骤 7/7
目标：验证结果
验证 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^4$ 整除：计算 $f(x)+1$ 并因式分解，或验证 $x=1$ 处前四阶导数为0。同理验证 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^4$ 整除。
提示：验证时只需检查导数条件即可，避免复杂因式分解。
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