📝 哈尔滨工业大学 2026年高等代数真题

一．求 7 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{4}$ 整除，$\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{4}$ 整除．

七．判断如下命题是否成立，并说明理由：存在不全为零的有理数 $\displaystyle a, b, c, d$ ，使得

$$
x^{3}+6 x+1 \mid a+b x^{2}+c x^{4}+d x^{6}
$$

三．设 $A$ 是实数域上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，$\displaystyle m \leq n$ ．证明：

$$
A X=E_{m}
$$

有解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A)=m$ ．

九．设实数域上方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{8 \times 8}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{i j}\right| \leq 1$ ，其中 $\displaystyle i, j=1,2, \cdots, 8$ ，求 $\displaystyle |A|$ 的最大值．

二．计算行列式

$$
\left|\begin{array}{cccc}
2+a_{1}+b_{1} & a_{1}+b_{2} & \cdots & a_{1}+b_{n} \\
a_{2}+b_{1} & 2+a_{2}+b_{2} & \cdots & a_{2}+b_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n}+b_{1} & a_{n}+b_{2} & \cdots & 2+a_{n}+b_{n}
\end{array}\right| .
$$

五．设数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 对应的方阵 $S$ 的顺序主子式 $\displaystyle d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ 均不为 0 ，其中 $\displaystyle d_{i}$ 是 $i$ 阶顺序主子式．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的标准形．

八．设实数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a+2 b+2 c=1$ ，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的取值范围．

六．设矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=2 A+3 B$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & -3
\end{array}\right)
$$

求 $B$ 的特征值．

十．判断如下命题是否成立？并说明理由：若实数域上方阵 $A$ 的行向量两两正交，则其列向量也两两正交．