哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．判断如下命题是否成立，并说明理由：存在不全为零的有理数 $\displaystyle a, b, c, d$ ，使得
$$
x^{3}+6 x+1 \mid a+b x^{2}+c x^{4}+d x^{6}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意并设定多项式
设 $f(x)=x^3+6x+1$，$g(x)=a+bx^2+cx^4+dx^6$。题目要求判断是否存在不全为零的有理数 $a,b,c,d$ 使得 $f(x) \mid g(x)$。
提示：注意 $g(x)$ 只含偶次项，且次数不超过6。
步骤 2/7
目标：利用整除性质转化为根的条件
由于 $f(x)$ 是三次多项式，若 $f(x) \mid g(x)$，则 $f(x)$ 的每个根（包括重根）都是 $g(x)$ 的根。设 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个根，则 $\alpha^3 = -6\alpha - 1$。
公式：$\alpha^3 = -6\alpha - 1$
提示：注意：这里假设 $f(x)$ 无重根，实际上 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素，故无重根。
步骤 3/7
目标：计算 $g(\alpha)$ 并降幂
计算 $g(\alpha) = a + b\alpha^2 + c\alpha^4 + d\alpha^6$。利用 $\alpha^3 = -6\alpha - 1$ 降幂：
$\alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha(-6\alpha-1) = -6\alpha^2 - \alpha$，
$\alpha^6 = \alpha^3 \cdot \alpha^3 = (-6\alpha-1)^2 = 36\alpha^2 + 12\alpha + 1$。
代入得：
$g(\alpha) = a + b\alpha^2 + c(-6\alpha^2 - \alpha) + d(36\alpha^2 + 12\alpha + 1)$
$= a + (b - 6c + 36d)\alpha^2 + (-c + 12d)\alpha + d$。
公式：$\alpha^4 = -6\alpha^2 - \alpha$，$\alpha^6 = 36\alpha^2 + 12\alpha + 1$
提示：降幂时注意符号和合并同类项。
步骤 4/7
目标：利用 $f(x)$ 的不可约性得到线性无关性
由Eisenstein判别法（取 $p=3$），$f(x)=x^3+6x+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，因此 $\alpha$ 是三次无理数，$1, \alpha, \alpha^2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。所以 $g(\alpha)=0$ 当且仅当 $\alpha^2, \alpha, 1$ 的系数全为零。
提示：不可约性保证了根不是有理数，从而 $1,\alpha,\alpha^2$ 线性无关。
步骤 5/7
目标：建立线性方程组
由 $g(\alpha)=0$ 得方程组：
\[
\begin{cases}
b - 6c + 36d = 0, \\
-c + 12d = 0, \\
a + d = 0.
\end{cases}
\]
提示：注意常数项是 $a+d$，不要漏掉 $d$。
步骤 6/7
目标：求解方程组并找到非零解
由第二式得 $c = 12d$，代入第一式得 $b - 6(12d) + 36d = b - 72d + 36d = b - 36d = 0$，即 $b = 36d$。第三式得 $a = -d$。取 $d=1$，则 $a=-1, b=36, c=12$，不全为零的有理数存在。
提示：注意 $d$ 不能为零，否则 $a=b=c=0$，但题目要求不全为零，所以 $d$ 取非零值。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此存在不全为零的有理数 $a=-1, b=36, c=12, d=1$ 使得 $f(x) \mid g(x)$，命题成立。
提示：验证：代入 $g(x)=-1+36x^2+12x^4+x^6$，可计算 $g(x) = (x^3+6x+1)(x^3-6x+?)$ 实际上整除。
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