哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．判断如下命题是否成立？并说明理由：若实数域上方阵 $A$ 的行向量两两正交，则其列向量也两两正交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题条件与结论
命题：若实数域上方阵 $A$ 的行向量两两正交，则其列向量也两两正交。行向量两两正交意味着 $A A^T$ 是对角矩阵，列向量两两正交意味着 $A^T A$ 是对角矩阵。
提示：注意行向量正交与列向量正交的矩阵表示区别。
步骤 2/6
目标：分析一般情况
一般情况下，$A A^T$ 是对角矩阵不能推出 $A^T A$ 是对角矩阵。例如，对于非对称矩阵，行正交与列正交没有必然联系。
提示：不要混淆行正交与列正交的条件。
步骤 3/6
目标：构造反例的思路
考虑 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$。行向量正交条件：$ac + bd = 0$。列向量正交条件：$ab + cd = 0$。我们需要找到一组 $(a,b,c,d)$ 满足第一个条件但不满足第二个条件。
公式：行正交: $ac+bd=0$; 列正交: $ab+cd=0$
提示：注意两个条件不同，需要构造反例。
步骤 4/6
目标：求解反例参数
假设 $b \neq 0$，由行正交得 $c = -\frac{bd}{a}$（设 $a \neq 0$）。代入列正交条件：$ab + \left(-\frac{bd}{a}\right)d = ab - \frac{bd^2}{a} = \frac{b}{a}(a^2 - d^2) = 0$。因此，若 $a^2 \neq d^2$，则列正交不成立。取 $a=1, d=2$，则 $c = -\frac{b \cdot 2}{1} = -2b$。取 $b=1$，得 $c=-2$。
公式：由行正交得 $c = -\frac{bd}{a}$，代入列正交得 $\frac{b}{a}(a^2-d^2)=0$
提示：注意分母不为零，且 $b \neq 0$ 保证非平凡。
步骤 5/6
目标：验证反例
构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$。行向量 $(1,1)$ 与 $(-2,2)$ 的内积：$1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 0$，行向量正交。列向量 $(1,-2)^T$ 与 $(1,2)^T$ 的内积：$1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \neq 0$，列向量不正交。因此命题不成立。
提示：验证时注意内积计算正确。
步骤 6/6
目标：得出结论
命题不成立。反例：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：反例是证明命题不成立的常用方法。
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