哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．设 $A$ 是实数域上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，$\displaystyle m \leq n$ ．证明：
$$
A X=E_{m}
$$
有解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A)=m$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解问题与符号
设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，$X$ 是 $n \times m$ 未知矩阵，$m \leq n$。方程 $AX = E_m$ 有解，其中 $E_m$ 是 $m$ 阶单位阵。要证明该方程有解的充要条件是 $\operatorname{rank}(A) = m$。
提示：注意矩阵维数：$A$ 的行数等于 $E_m$ 的阶数，$X$ 的列数等于 $m$。
步骤 2/4
目标：证明必要性：若方程有解则秩为 m
假设存在 $X$ 使得 $AX = E_m$。对任意 $b \in \mathbb{R}^m$，令 $y = Xb$，则 $Ay = A(Xb) = (AX)b = E_m b = b$。因此线性方程组 $Ax = b$ 总有解，这意味着 $A$ 的行向量组能生成 $\mathbb{R}^m$，故行向量组线性无关，所以 $\operatorname{rank}(A) = m$。
公式：$A(Xb) = (AX)b = E_m b = b$
提示：注意 $b$ 是任意列向量，利用矩阵乘法的结合律。
步骤 3/4
目标：证明充分性：若秩为 m 则方程有解
假设 $\operatorname{rank}(A) = m$。由于 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵且秩为 $m$，则 $AA^T$ 是 $m \times m$ 矩阵且满秩（因为 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A) = m$），故 $AA^T$ 可逆。定义 $X = A^T (AA^T)^{-1}$，则 $AX = A A^T (AA^T)^{-1} = E_m$。因此方程有解。
公式：$X = A^T (AA^T)^{-1}$，$AX = E_m$
提示：需要验证 $AA^T$ 可逆：$A$ 行满秩时 $AA^T$ 正定，故可逆。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
由必要性：$AX = E_m$ 有解 $\Rightarrow$ $\operatorname{rank}(A) = m$；由充分性：$\operatorname{rank}(A) = m$ $\Rightarrow$ $AX = E_m$ 有解。因此 $AX = E_m$ 有解的充要条件是 $\operatorname{rank}(A) = m$。
提示：注意 $m \leq n$ 的条件保证了 $A$ 的行数不超过列数，行满秩是可能的。
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