哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
2+a_{1}+b_{1} & a_{1}+b_{2} & \cdots & a_{1}+b_{n} \\
a_{2}+b_{1} & 2+a_{2}+b_{2} & \cdots & a_{2}+b_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n}+b_{1} & a_{n}+b_{2} & \cdots & 2+a_{n}+b_{n}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：观察行列式结构，引入Kronecker符号
行列式元素为 $2\delta_{ij} + a_i + b_j$，其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker 符号（当 $i=j$ 时为1，否则为0）。因此行列式可写为 $\det(2I + \mathbf{a} \mathbf{b}^T)$，其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T$，$I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：\det(2I + \mathbf{a} \mathbf{b}^T)
提示：注意 $\delta_{ij}$ 的定义：当 $i=j$ 时为1，否则为0。
步骤 2/7
目标：应用矩阵行列式引理
矩阵行列式引理：若 $A$ 可逆，则 $\det(A + uv^T) = \det(A)(1 + v^T A^{-1} u)$。这里 $A = 2I$，$u = \mathbf{a}$，$v = \mathbf{b}$。由于 $A$ 可逆，可直接应用引理。
公式：\det(A + uv^T) = \det(A)(1 + v^T A^{-1} u)
提示：确保 $A$ 可逆，这里 $A=2I$ 显然可逆。
步骤 3/7
目标：计算 $\det(2I)$
$\det(2I) = 2^n$，因为 $2I$ 是对角线为2的对角矩阵，行列式等于对角线元素乘积。
公式：\det(2I) = 2^n
提示：注意 $n$ 阶单位矩阵的行列式为1，乘以2后每个对角元为2，故行列式为 $2^n$。
步骤 4/7
目标：计算 $v^T A^{-1} u$
$A^{-1} = (2I)^{-1} = \frac{1}{2} I$，所以 $v^T A^{-1} u = \mathbf{b}^T \cdot \frac{1}{2} I \cdot \mathbf{a} = \frac{1}{2} \mathbf{b}^T \mathbf{a} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n a_i b_i$。
公式：v^T A^{-1} u = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n a_i b_i
提示：注意向量内积的顺序：$\mathbf{b}^T \mathbf{a} = \sum a_i b_i$。
步骤 5/7
目标：代入矩阵行列式引理
将上述结果代入：$D_n = 2^n \left(1 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n a_i b_i\right) = 2^n \left(1 + \frac{1}{2} S\right)$，其中 $S = \sum_{i=1}^n a_i b_i$。
公式：D_n = 2^n \left(1 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n a_i b_i\right)
提示：注意括号内是 $1 + \frac{1}{2} S$，不要漏掉1。
步骤 6/7
目标：化简最终结果
化简得 $D_n = 2^n \cdot \frac{2 + S}{2} = 2^{n-1} (2 + S)$，即 $2^{n-1} \left(2 + \sum_{i=1}^n a_i b_i\right)$。
公式：D_n = 2^{n-1} \left(2 + \sum_{i=1}^n a_i b_i\right)
提示：注意指数运算：$2^n / 2 = 2^{n-1}$。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此行列式的值为 $\boxed{2^{n-1}\left(2 + \sum_{i=1}^n a_i b_i\right)}$。
提示：最终答案应包含 $n$ 和求和符号，注意 $n$ 是行列式阶数。
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