哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．设实数域上方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{8 \times 8}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{i j}\right| \leq 1$ ，其中 $\displaystyle i, j=1,2, \cdots, 8$ ，求 $\displaystyle |A|$ 的最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用Hadamard不等式
对于任意 $n\times n$ 实矩阵 $A$，有Hadamard不等式：$|\det A| \le \prod_{j=1}^n \sqrt{\sum_{i=1}^n a_{ij}^2}$。这里 $n=8$，所以 $|\det A| \le \prod_{j=1}^8 \sqrt{\sum_{i=1}^8 a_{ij}^2}$。
公式：|\det A| \le \prod_{j=1}^n \sqrt{\sum_{i=1}^n a_{ij}^2}
提示：注意不等式是对列向量的欧几里得范数乘积，不是行向量。
步骤 2/6
目标：利用元素绝对值上界
由于 $|a_{ij}| \le 1$，每列元素的平方和 $\sum_{i=1}^8 a_{ij}^2 \le 8$，因此 $\sqrt{\sum_{i=1}^8 a_{ij}^2} \le \sqrt{8}$。代入Hadamard不等式得 $|\det A| \le \prod_{j=1}^8 \sqrt{8} = (\sqrt{8})^8 = 8^4 = 4096$。
公式：\sqrt{\sum_{i=1}^8 a_{ij}^2} \le \sqrt{8}
提示：注意平方和的上界是8，因为每个元素绝对值不超过1，最多8个1。
步骤 3/6
目标：确定等号成立条件
Hadamard不等式等号成立当且仅当矩阵的列向量两两正交。同时，要使 $\sum_{i=1}^8 a_{ij}^2 = 8$，每列元素绝对值必须全为1。因此，等号成立当且仅当矩阵的每个元素为 $\pm 1$，且列向量两两正交。
提示：注意正交条件：列向量内积为0。
步骤 4/6
目标：构造达到上界的矩阵
存在这样的矩阵，例如8阶Hadamard矩阵 $H_8$，其元素全为 $\pm 1$，且行（列）向量两两正交。Hadamard矩阵的行列式绝对值为 $n^{n/2} = 8^4 = 4096$。因此 $|\det H_8| = 4096$。
公式：\det H_n = n^{n/2} \text{（对于Hadamard矩阵）}
提示：Hadamard矩阵的阶数必须是1、2或4的倍数，8阶存在。
步骤 5/6
目标：考虑行列式的正负
题目求 $|A|$ 的最大值，即行列式的最大值。由于行列式可正可负，最大值应为绝对值最大的正值。Hadamard矩阵的行列式可能为正或负，但绝对值相同。因此最大值为 $4096$。
提示：注意题目中 $|A|$ 表示行列式，不是绝对值，但最大值通常指代数值最大，正数大于负数。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上所述，$|A|$ 的最大值为 $4096$。
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