哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 对应的方阵 $S$ 的顺序主子式 $\displaystyle d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ 均不为 0 ，其中 $\displaystyle d_{i}$ 是 $i$ 阶顺序主子式．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵形式
设二次型 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X^T S X$，其中 $X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$，$S$ 为 $n$ 阶对称矩阵。已知 $S$ 的顺序主子式 $d_1,d_2,\dots,d_n$ 均不为0，其中 $d_i$ 是 $S$ 的 $i$ 阶顺序主子式。
公式：$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X^T S X$
提示：注意 $S$ 是对称矩阵，顺序主子式 $d_i$ 是左上角 $i\times i$ 子矩阵的行列式。
步骤 2/5
目标：对 $S$ 进行 $LDL^T$ 分解
由于 $d_i\neq0$，对称矩阵 $S$ 可以唯一分解为 $S=LDL^T$，其中 $L$ 是单位下三角矩阵（即对角线元素为1的下三角矩阵），$D$ 是对角矩阵 $D=\operatorname{diag}(d_1, d_2/d_1, \dots, d_n/d_{n-1})$。这里 $d_0=1$。
公式：$S=LDL^T$，$D=\operatorname{diag}(d_1, \frac{d_2}{d_1}, \dots, \frac{d_n}{d_{n-1}})$
提示：分解的存在性和唯一性依赖于顺序主子式非零。注意 $D$ 的对角元是比值 $d_i/d_{i-1}$。
步骤 3/5
目标：作可逆线性替换 $X=LY$
令 $X=LY$，其中 $Y=(y_1,y_2,\dots,y_n)^T$。则二次型化为 $f=Y^T (L^T S L) Y = Y^T D Y$。因为 $L^T S L = L^T (LDL^T) L = D$。于是 $f = d_1 y_1^2 + \frac{d_2}{d_1} y_2^2 + \cdots + \frac{d_n}{d_{n-1}} y_n^2$。
公式：$f = Y^T D Y = \sum_{i=1}^n \frac{d_i}{d_{i-1}} y_i^2$
提示：替换 $X=LY$ 是可逆的，因为 $L$ 可逆（单位下三角矩阵行列式为1）。
步骤 4/5
目标：化为标准形（系数为 $\pm1$）
若要将系数化为 $\pm1$，令 $z_i = \sqrt{\left|\frac{d_i}{d_{i-1}}\right|} \, y_i$，则 $f = \sum_{i=1}^n \operatorname{sgn}\left(\frac{d_i}{d_{i-1}}\right) z_i^2$，其中 $\operatorname{sgn}$ 是符号函数。
公式：$f = \sum_{i=1}^n \operatorname{sgn}\left(\frac{d_i}{d_{i-1}}\right) z_i^2$
提示：注意开方时取绝对值，符号由 $d_i/d_{i-1}$ 的正负决定。
步骤 5/5
目标：总结标准形
因此，二次型的标准形为 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{d_i}{d_{i-1}} y_i^2$（其中 $d_0=1$），或者通过缩放系数得到 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \operatorname{sgn}\left(\frac{d_i}{d_{i-1}}\right) z_i^2$。
提示：标准形不唯一，但非零系数的个数（秩）和正系数个数（正惯性指数）由 $d_i/d_{i-1}$ 的符号决定。
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