哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．设实数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a+2 b+2 c=1$ ，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的取值范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别问题类型并选择方法
题目要求给定线性约束 $a+2b+2c=1$ 下，求 $a^2+b^2+c^2$ 的取值范围。这是一个条件极值问题，由于表达式是平方和，且约束是线性的，可以考虑使用柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）来求最小值，同时分析最大值是否存在。
提示：注意区分求最大值还是最小值，平方和通常有下界，但可能无上界。
步骤 2/5
目标：应用柯西不等式求下界
根据柯西不等式：$(a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+2^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 2)^2$。代入已知条件 $a+2b+2c=1$，得到 $9(a^2+b^2+c^2) \geq 1$，所以 $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{9}$。
公式：$(\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2) \geq (\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2$
提示：注意柯西不等式等号成立的条件：$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{2}$，即向量 $(a,b,c)$ 与 $(1,2,2)$ 共线。
步骤 3/5
目标：验证最小值可达
令 $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{2}=k$，则 $a=k, b=2k, c=2k$。代入约束 $a+2b+2c = k + 4k + 4k = 9k = 1$，解得 $k=\frac{1}{9}$，从而 $a=\frac{1}{9}, b=\frac{2}{9}, c=\frac{2}{9}$。此时 $a^2+b^2+c^2 = \frac{1}{81}+\frac{4}{81}+\frac{4}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$，因此最小值 $\frac{1}{9}$ 可以取到。
提示：检查等号成立条件是否满足约束，确保最小值确实可达。
步骤 4/5
目标：分析上界（最大值）
考虑 $a^2+b^2+c^2$ 是否可以无限大。取 $a$ 很大，例如令 $a = t$，则约束变为 $t + 2b + 2c = 1$，即 $b+c = \frac{1-t}{2}$。此时 $b^2+c^2$ 可以取任意大的值吗？实际上，当 $t$ 很大时，$b+c$ 为很大的负数，但 $b^2+c^2$ 可以很大（例如取 $b$ 很大，$c$ 适当调整）。更严格地，固定 $a$，则 $b,c$ 满足 $b+c = \frac{1-a}{2}$，此时 $b^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{(1-a)^2}{8}$（当 $b=c$ 时），但可以无上界（例如取 $b$ 很大，$c$ 相应调整）。因此 $a^2+b^2+c^2$ 可以趋于无穷大。
提示：注意：当 $a$ 固定时，$b,c$ 的平方和可以无限大，因为 $b$ 和 $c$ 可以一个很大一个很小，但和固定。
步骤 5/5
目标：给出取值范围
综合以上，$a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{1}{9}$，且可以取到；没有最大值，可以趋于无穷大。因此取值范围是 $[\frac{1}{9}, +\infty)$。
提示：注意区间左闭右开，因为最小值可达，上界无穷。
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