哈尔滨工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．设矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=2 A+3 B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & -3
\end{array}\right)
$$
求 $B$ 的特征值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简矩阵方程
由 $AB = 2A + 3B$ 移项得 $AB - 3B = 2A$，即 $(A - 3I)B = 2A$。
公式：$(A - 3I)B = 2A$
提示：注意移项时符号变化，不要漏掉负号。
步骤 2/6
目标：计算 $A-3I$ 并判断可逆性
计算 $A-3I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -6 \end{pmatrix}$，其行列式为 $\det(A-3I) = -27 \neq 0$，故 $A-3I$ 可逆。
公式：$\det(A-3I) = -27$
提示：行列式计算要仔细，注意符号和展开式。
步骤 3/6
目标：解出 $B$ 的表达式
由 $(A-3I)B = 2A$ 左乘 $(A-3I)^{-1}$ 得 $B = 2(A-3I)^{-1}A$。
公式：$B = 2(A-3I)^{-1}A$
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘逆矩阵。
步骤 4/6
目标：推导特征值关系
设 $\lambda$ 是 $B$ 的特征值，$\mu$ 是 $A$ 的特征值，且 $A$ 可对角化（或由相似变换），则 $\lambda = \frac{2\mu}{\mu-3}$。
公式：$\lambda = \frac{2\mu}{\mu-3}$
提示：该关系来自 $B = 2(A-3I)^{-1}A$，注意 $A-3I$ 的特征值为 $\mu-3$。
步骤 5/6
目标：求 $A$ 的特征值
计算 $A$ 的特征多项式：$\det(A-\mu I) = -\mu(\mu^2+2\mu-6)=0$，解得 $\mu=0$ 或 $\mu=-1\pm\sqrt{7}$。
公式：$\det(A-\mu I) = -\mu(\mu^2+2\mu-6)$
提示：特征多项式计算时注意展开和因式分解，避免代数错误。
步骤 6/6
目标：代入关系式求 $B$ 的特征值
将 $\mu=0$ 代入得 $\lambda=0$；将 $\mu=-1+\sqrt{7}$ 代入得 $\lambda = -\frac{2}{3}(1+\sqrt{7})$；将 $\mu=-1-\sqrt{7}$ 代入得 $\lambda = -\frac{2}{3}(1-\sqrt{7})$。
公式：$\lambda = \frac{2\mu}{\mu-3}$
提示：有理化分母时注意符号，最终结果化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。