哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $A$ 为正交阵，且 $|A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾正交矩阵的性质
正交矩阵 $A$ 满足 $A^T A = I$，即 $A^T = A^{-1}$。正交矩阵的特征值模为1，即 $|\lambda|=1$，且实特征值只能是 $\pm 1$。
公式：A^T A = I
提示：注意正交矩阵的特征值不一定都是实数，但模为1。
步骤 2/5
目标：利用行列式条件
已知 $|A| = -1$。由于 $|A|$ 等于所有特征值的乘积（计重数），设特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，则 $\prod_{i=1}^n \lambda_i = -1$。
公式：|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i = -1
提示：特征值可能为复数，乘积为实数-1。
步骤 3/5
目标：分析特征值的共轭成对性
由于 $A$ 是实矩阵，非实特征值成对出现（共轭对），且每对共轭复数的乘积为正实数（因为 $\lambda \bar{\lambda} = |\lambda|^2 = 1$）。因此，所有非实特征值的乘积为1。
公式：\lambda \bar{\lambda} = |\lambda|^2 = 1
提示：共轭复数乘积为1，不影响乘积的符号。
步骤 4/5
目标：推导实特征值的乘积
设实特征值的个数为 $r$，则所有实特征值的乘积等于 $|A|$ 除以所有非实特征值的乘积，即 $\prod_{\text{实}} \lambda_i = -1$。由于实特征值只能是 $\pm 1$，所以乘积为 $-1$ 意味着实特征值中 $-1$ 的个数为奇数。
公式：\prod_{\text{实}} \lambda_i = -1
提示：实特征值只能是1或-1，因为模为1且为实数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为实特征值中 $-1$ 的个数为奇数，所以至少有一个特征值为 $-1$。因此，$A$ 必有特征值 $-1$。
提示：注意：奇数个-1相乘得-1，但可能还有其他实特征值1。
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