📝 哈尔滨工程大学 2004年高等代数真题

1．设 $x^{2}-2$ 在 $P$ 内可约的最小数域为 $\_\_\_\_$ ．

2．多项式 $x^{5}-1$ 在多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 中的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

3．$n(n \geq 2)$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}x & y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & y \\ y & 0 & 0 & \cdots & 0 & x\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A_{m}$ 为 $m$ 阶方阵，$B_{n}$ 为 $n$ 阶方阵，$\left|A_{m}\right|=a,\left|B_{n}\right|=b$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}0 & A_{m} \\ B_{m} & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．向量组 $\alpha_{1}=(5,2,-3,) \alpha_{2}=(4,1,2), 3 \alpha_{3}=(1,-1,-), \alpha_{4},(3,4)$ 的一个极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．

6．设已知 3 个 3 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其中，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，而矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的秩为 2 ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A^{*} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$。

7．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ ，则 $\left|16 E_{3}-A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。

8．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{m}=0$（ $m$ 为一个正整数），则 $A$ 的特征多项式为 $\_\_\_\_$ ．

9．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1, \lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 对应的特征向量为 $\alpha_{1}=(2,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(1,2,-2)^{T}$ ，则 $\lambda_{3}=-1$ 对应的特征向量为 $\_\_\_\_$。

10．设 $A$ 为正交阵，且 $|A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值 $\_\_\_\_$。

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

2．若 $\lambda_{0} \neq 0, \lambda_{0}$ 是否也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，说明理由．

1．若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $A$ 的对应 $\lambda$ 的特征子空间 $V_{\lambda}=\{v \in V \mid \mathcal{A} v=\lambda v\}$ 为 $\mathcal{B}$ 的不变子空间；

2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．

1． $\mathcal{A}_{\eta}$ 为正交变换；

2． $\mathcal{A}_{\eta}$ 的行列式为 -1 ；

3．若 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 的正交变换， 1 为其特征值，且相应的特征子空间的维数为 $n-1$ ，则 $\mathcal{A}$ 为镜面反射．

七、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \mathcal{A B}$ 的特征值，且 $\displaystyle \beta$ 为相应的特征向量．

三、求正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ ，化二次型 $\displaystyle f=x^{2}+4 x y+4 x z+y^{2}+4 y z+z^{2}$ 为标准形．

九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．

五、设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{m}=0$（ $m$ 为一个大于 1 的自然数），现令

$$
e^{A}=E_{n}+A+\frac{A^{2}}{2!}+\cdots+\frac{A^{m-1}}{(m-1)!}
$$

求证：矩阵 $\displaystyle e^{A}$ 可逆．

八、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{B} \mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，求证：

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

十、若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证 $\displaystyle A^{n}$ 的秩等于 $\displaystyle A^{n+1}$ 的秩．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件．