哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义子空间并证明和分解
令 $U = \mathcal{A}(V)$，$W = \ker(\mathcal{A})$。对任意 $v \in V$，有 $v = \mathcal{A}(v) + (v - \mathcal{A}(v))$。由于 $\mathcal{A}(v - \mathcal{A}(v)) = \mathcal{A}(v) - \mathcal{A}^2(v) = 0$，故 $v - \mathcal{A}(v) \in W$。因此 $V = U + W$。
公式：$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$
提示：注意验证 $v - \mathcal{A}(v)$ 属于 $W$ 时需用到幂等性。
步骤 2/5
目标：证明直和分解
若 $u \in U \cap W$，则存在 $v \in V$ 使得 $u = \mathcal{A}(v)$，且 $\mathcal{A}(u)=0$。于是 $0 = \mathcal{A}(u) = \mathcal{A}^2(v) = \mathcal{A}(v) = u$，故 $U \cap W = \{0\}$。因此 $V = U \oplus W$。
提示：注意 $\mathcal{A}(u)=0$ 是因为 $u \in W$，而 $\mathcal{A}^2(v)=\mathcal{A}(v)$ 由幂等性得到。
步骤 3/5
目标：选取基向量
设 $\dim U = r$，取 $U$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$，$W$ 的一组基 $\alpha_{r+1}, \dots, \alpha_n$，则 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一组基。
提示：注意 $U$ 和 $W$ 的基合并后线性无关，因为直和。
步骤 4/5
目标：计算线性变换在基下的作用
由于 $\alpha_i \in U = \mathcal{A}(V)$，存在 $\beta_i \in V$ 使得 $\alpha_i = \mathcal{A}(\beta_i)$，则 $\mathcal{A}(\alpha_i) = \mathcal{A}^2(\beta_i) = \mathcal{A}(\beta_i) = \alpha_i$，对 $i=1,\dots,r$。对 $j=r+1,\dots,n$，$\alpha_j \in W = \ker(\mathcal{A})$，故 $\mathcal{A}(\alpha_j)=0$。
公式：$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$
提示：注意 $\mathcal{A}(\alpha_i)=\alpha_i$ 的推导需利用 $\alpha_i \in \mathcal{A}(V)$ 和幂等性。
步骤 5/5
目标：写出矩阵表示
因此，$\mathcal{A}$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
提示：注意矩阵分块对应前 $r$ 个基向量和后 $n-r$ 个基向量。
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