哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ -x & \lambda-1 & -y \\ -1 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$。按第一行展开：$\lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -y \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} -x & \lambda-1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \lambda^2(\lambda-1) - (\lambda-1) = (\lambda-1)(\lambda^2-1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$
提示：展开行列式时注意符号，按第一行展开时第二项系数为$(-1)^{1+2}=-1$。
步骤 2/7
目标：确定特征值
由特征多项式得特征值为 $\lambda_1 = 1$（二重根），$\lambda_2 = -1$（单根）。
提示：注意代数重数：$\lambda=1$ 是二重根。
步骤 3/7
目标：分析线性无关特征向量的条件
矩阵有3个线性无关的特征向量，则每个特征值的几何重数等于代数重数。对于单根 $\lambda=-1$，几何重数自动为1；对于二重根 $\lambda=1$，几何重数必须为2，即 $\dim\ker(A-I)=2$，等价于 $\operatorname{rank}(A-I)=1$。
公式：$\dim\ker(A-I) = 3 - \operatorname{rank}(A-I)$
提示：几何重数不超过代数重数，二重根需要两个线性无关的特征向量。
步骤 4/7
目标：计算矩阵 A-I
$A-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ x & 0 & y \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $A-I$ 的第二列全为0，因为 $A$ 的第二列是 $(0,1,0)^T$。
步骤 5/7
目标：对 A-I 进行行变换
将第三行加到第一行：$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ x & 0 & y \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+R_1} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ x & 0 & y \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。交换行得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：行变换不改变秩，注意化简后矩阵的秩由非零行决定。
步骤 6/7
目标：由秩为1导出条件
秩为1要求第二行与第一行成比例，即存在 $k$ 使得 $(x,0,y) = k(1,0,-1)$，所以 $x = k$，$y = -k$，即 $x + y = 0$。
公式：$x + y = 0$
提示：注意比例系数 $k$ 可以是任意非零数，但 $x$ 和 $y$ 的关系唯一确定。
步骤 7/7
目标：验证充分性
当 $x+y=0$ 时，$A-I$ 的秩为1，因此 $\dim\ker(A-I)=2$，存在两个线性无关的特征向量对应 $\lambda=1$，加上 $\lambda=-1$ 的一个特征向量，共三个线性无关的特征向量。
提示：充分性验证确保条件不是必要的。
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