哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{m}=0$（ $m$ 为一个大于 1 的自然数），现令
$$
e^{A}=E_{n}+A+\frac{A^{2}}{2!}+\cdots+\frac{A^{m-1}}{(m-1)!}
$$
求证：矩阵 $\displaystyle e^{A}$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A^m = 0$（$m>1$），即 $A$ 是幂零矩阵。定义 $e^A = E_n + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots + \frac{A^{m-1}}{(m-1)!}$，这是一个有限和，因为 $A^m=0$ 及更高次幂均为零。
公式：A^m = 0
提示：注意 $e^A$ 的定义是有限和，不是无穷级数，因为 $A$ 幂零。
步骤 2/7
目标：方法一：利用行列式性质
对于任意矩阵 $A$，有恒等式 $\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}$，该恒等式对于幂零矩阵也成立（可通过 Jordan 标准形证明）。由于 $e^{\operatorname{tr}(A)} \neq 0$，所以 $\det(e^A) \neq 0$，从而 $e^A$ 可逆。
公式：\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}
提示：该恒等式要求 $e^A$ 定义为无穷级数，但幂零矩阵的有限和定义与无穷级数一致，因此成立。
步骤 3/7
目标：方法二：直接构造逆矩阵
考虑矩阵 $B = E_n - A + \frac{A^2}{2!} - \frac{A^3}{3!} + \cdots + (-1)^{m-1}\frac{A^{m-1}}{(m-1)!}$，即 $B = \sum_{j=0}^{m-1} (-1)^j \frac{A^j}{j!}$。
公式：B = \sum_{j=0}^{m-1} (-1)^j \frac{A^j}{j!}
提示：注意 $B$ 的项数与 $e^A$ 相同，因为 $A^m=0$。
步骤 4/7
目标：计算乘积 $e^A B$
计算 $e^A B = \left(\sum_{i=0}^{m-1} \frac{A^i}{i!}\right) \left(\sum_{j=0}^{m-1} (-1)^j \frac{A^j}{j!}\right) = \sum_{k=0}^{2m-2} \left(\sum_{i+j=k} \frac{(-1)^j}{i! j!}\right) A^k$。
公式：e^A B = \sum_{k=0}^{2m-2} \left(\sum_{i+j=k} \frac{(-1)^j}{i! j!}\right) A^k
提示：注意 $A^k$ 当 $k \geq m$ 时为零，所以实际只到 $k=m-1$。
步骤 5/7
目标：化简系数
当 $k=0$ 时，$i=j=0$，系数为 $\frac{1}{0!0!}=1$。当 $1 \leq k \leq m-1$ 时，系数为 $\sum_{j=0}^k \frac{(-1)^j}{j!(k-j)!} = \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j = \frac{1}{k!} (1-1)^k = 0$。当 $k \geq m$ 时，$A^k=0$。因此 $e^A B = E_n$。
公式：\sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j = (1-1)^k = 0 \quad (k>0)
提示：二项式定理的应用，注意 $k=0$ 时 $(1-1)^0=1$。
步骤 6/7
目标：验证 $B e^A = E_n$
类似地，计算 $B e^A$ 可得相同结果，因为乘法可交换（$A$ 与自身可交换）。因此 $B$ 是 $e^A$ 的逆矩阵，故 $e^A$ 可逆。
提示：由于 $A$ 与自身可交换，所以 $e^A$ 与 $B$ 可交换，但需注意一般矩阵乘法不交换，此处因为都是 $A$ 的多项式，所以交换。
步骤 7/7
目标：结论
由方法一或方法二，均可得 $e^A$ 可逆。
提示：两种方法均可，方法二更直接。
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