哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
3．$n(n \geq 2)$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}x & y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & y \\ y & 0 & 0 & \cdots & 0 & x\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察行列式结构
行列式 $D_n$ 是一个 $n$ 阶行列式，主对角线元素为 $x$，次对角线（主对角线上方一条）元素为 $y$，左下角元素为 $y$，其余元素为 $0$。其形式为：
$$\begin{vmatrix}
x & y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x & y & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x & y \\
y & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{vmatrix}$$
提示：注意左下角元素 $y$ 的位置是第 $n$ 行第 $1$ 列，其余位置除了主对角线和次对角线外均为 $0$。
步骤 2/6
目标：按第一列展开
按第一列展开行列式 $D_n$。第一列元素为：$a_{11}=x$，$a_{21}=0$，$a_{31}=0$，$\cdots$，$a_{n1}=y$。只有 $a_{11}$ 和 $a_{n1}$ 非零。展开得：
$$D_n = x \cdot A_{11} + y \cdot A_{n1}$$
其中 $A_{11}$ 是 $a_{11}$ 的代数余子式，$A_{n1}$ 是 $a_{n1}$ 的代数余子式。注意 $a_{n1}$ 位于第 $n$ 行第 $1$ 列，其代数余子式为 $(-1)^{n+1} M_{n1}$。
公式：行列式按第一列展开公式：$D_n = \sum_{i=1}^n a_{i1} A_{i1}$
提示：代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
步骤 3/6
目标：计算第一个余子式 $M_{11}$
去掉第1行和第1列后，得到 $n-1$ 阶子式：
$$\begin{vmatrix}
x & y & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x & y \\
0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{vmatrix}$$
这是一个上三角行列式，主对角线元素均为 $x$，因此其值为 $x^{n-1}$。
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
提示：注意余子式 $M_{11}$ 是 $n-1$ 阶行列式，且形状为上三角。
步骤 4/6
目标：计算第二个余子式 $M_{n1}$
去掉第 $n$ 行和第 $1$ 列后，得到 $n-1$ 阶子式：
$$\begin{vmatrix}
y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
x & y & \cdots & 0 & 0 \\
0 & x & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x & y
\end{vmatrix}$$
这是一个下三角行列式，主对角线元素均为 $y$，因此其值为 $y^{n-1}$。
公式：下三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
提示：注意余子式 $M_{n1}$ 是 $n-1$ 阶行列式，且形状为下三角。
步骤 5/6
目标：组合代数余子式
由于 $A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = M_{11} = x^{n-1}$，$A_{n1} = (-1)^{n+1} M_{n1} = (-1)^{n+1} y^{n-1}$。代入展开式：
$$D_n = x \cdot x^{n-1} + y \cdot (-1)^{n+1} y^{n-1} = x^n + (-1)^{n+1} y^n$$
公式：代数余子式符号 $(-1)^{i+j}$
提示：注意 $y$ 的代数余子式符号为 $(-1)^{n+1}$，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，$n$ 阶行列式的值为：
$$D_n = x^n + (-1)^{n+1} y^n$$
提示：最终结果是一个简洁的表达式，注意 $(-1)^{n+1}$ 的指数与 $n$ 有关。
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