哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：求线性变换在给定基下的矩阵
我们需要求线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$，即满足 $\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$。矩阵 $A$ 的第 $j$ 列是 $\mathcal{A}\alpha_j$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标。
公式：$\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$
提示：注意基向量的顺序，矩阵 $A$ 的列对应 $\mathcal{A}\alpha_j$ 的坐标。
步骤 2/5
目标：表示 $\mathcal{A}\alpha_1$ 在基下的坐标
设 $\mathcal{A}\alpha_1 = x_{11}\alpha_1 + x_{21}\alpha_2 + x_{31}\alpha_3$，代入已知向量：$\mathcal{A}\alpha_1 = (-5,0,3)$，$\alpha_1=(-1,0,2)$，$\alpha_2=(0,1,1)$，$\alpha_3=(3,-1,0)$。得到方程组：
$$
\begin{cases}
-x_{11} + 3x_{31} = -5 \\
x_{21} - x_{31} = 0 \\
2x_{11} + x_{21} = 3
\end{cases}
$$
由第二式得 $x_{21}=x_{31}$，代入第一、三式解得 $x_{11}=2$，$x_{21}=-1$，$x_{31}=-1$。
提示：注意向量坐标的对应关系，每个分量方程要正确列出。
步骤 3/5
目标：表示 $\mathcal{A}\alpha_2$ 在基下的坐标
设 $\mathcal{A}\alpha_2 = x_{12}\alpha_1 + x_{22}\alpha_2 + x_{32}\alpha_3$，代入 $\mathcal{A}\alpha_2 = (0,-1,6)$，得方程组：
$$
\begin{cases}
-x_{12} + 3x_{32} = 0 \\
x_{22} - x_{32} = -1 \\
2x_{12} + x_{22} = 6
\end{cases}
$$
由第一式得 $x_{12}=3x_{32}$，代入第三式得 $6x_{32}+x_{22}=6$，结合第二式 $x_{22}=x_{32}-1$，解得 $x_{32}=1$，$x_{12}=3$，$x_{22}=0$。
提示：解方程组时注意代入消元，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：表示 $\mathcal{A}\alpha_3$ 在基下的坐标
设 $\mathcal{A}\alpha_3 = x_{13}\alpha_1 + x_{23}\alpha_2 + x_{33}\alpha_3$，代入 $\mathcal{A}\alpha_3 = (-5,-1,9)$，得方程组：
$$
\begin{cases}
-x_{13} + 3x_{33} = -5 \\
x_{23} - x_{33} = -1 \\
2x_{13} + x_{23} = 9
\end{cases}
$$
由第一式得 $x_{13}=3x_{33}+5$，代入第三式得 $6x_{33}+10+x_{23}=9$，即 $x_{23}=-6x_{33}-1$，代入第二式得 $(-6x_{33}-1)-x_{33}=-1$，解得 $x_{33}=0$，$x_{13}=5$，$x_{23}=-1$。
提示：注意符号，代入时小心处理。
步骤 5/5
目标：构造矩阵 $A$
根据坐标结果，矩阵 $A$ 的第1列为 $(x_{11}, x_{21}, x_{31})^T = (2, -1, -1)^T$，第2列为 $(3, 0, 1)^T$，第3列为 $(5, -1, 0)^T$。因此
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意矩阵的列顺序与基的对应关系，不要颠倒。
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