哈尔滨工程大学 2004年高等代数第0题
📝 题目
2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取特征值与特征子空间
设 $\mathcal{A}$ 有特征值 $\lambda$，定义 $V_\lambda = \{ v \in V \mid \mathcal{A}v = \lambda v \}$ 为 $\mathcal{A}$ 的属于 $\lambda$ 的特征子空间。由于 $\mathcal{A}$ 是线性变换，$V_\lambda$ 是 $V$ 的子空间。
公式：$V_\lambda = \{ v \in V \mid \mathcal{A}v = \lambda v \}$
提示：特征子空间非空，因为至少包含特征向量。
步骤 2/5
目标：证明特征子空间在 $\mathcal{B}$ 下不变
对任意 $v \in V_\lambda$，有 $\mathcal{A}(\mathcal{B}v) = \mathcal{B}(\mathcal{A}v) = \mathcal{B}(\lambda v) = \lambda (\mathcal{B}v)$，所以 $\mathcal{B}v \in V_\lambda$。因此 $V_\lambda$ 是 $\mathcal{B}$ 的不变子空间。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：关键步骤，利用交换性推导。
步骤 3/5
目标：限制 $\mathcal{B}$ 到 $V_\lambda$
考虑 $\mathcal{B}$ 在 $V_\lambda$ 上的限制 $\mathcal{B}|_{V_\lambda}: V_\lambda \to V_\lambda$。由于 $V_\lambda$ 是复数域上的非零线性空间，$\mathcal{B}|_{V_\lambda}$ 作为线性变换必有特征向量。
公式：$\mathcal{B}|_{V_\lambda}$
提示：需要假设域是代数闭域（如复数域），否则可能没有特征值。
步骤 4/5
目标：取 $\mathcal{B}|_{V_\lambda}$ 的特征向量
存在 $v_0 \in V_\lambda$ 和 $\mu \in \mathbb{C}$ 使得 $\mathcal{B}v_0 = \mu v_0$。
公式：$\mathcal{B}v_0 = \mu v_0$
提示：特征向量非零。
步骤 5/5
目标：验证公共特征向量
由 $v_0 \in V_\lambda$ 知 $\mathcal{A}v_0 = \lambda v_0$，结合 $\mathcal{B}v_0 = \mu v_0$，$v_0$ 是 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的公共特征向量。
公式：$\mathcal{A}v_0 = \lambda v_0$, $\mathcal{B}v_0 = \mu v_0$
提示：注意 $v_0$ 同时满足两个特征方程。
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